#代数系の初歩 1
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このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

#群論の初歩 90
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このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
53

#群論：#共役類 を3個もつ #群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#代数学の知識

#ガロア理論 (Galois theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・代数方程式や #体 の構造を，
#ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。

・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった
群や体の考えを方程式の研究に用いていた。

#群論の初歩 85

英語名称のおさらい

#群 group
#公理 axiom

#単位元 identity element
#逆元 inverse element

#結合法則 associative law
#結合律 associative property, associativity

#アーベル群 abelian group
#可換群 commutative group

#群論の初歩 83

#行列 の積に関する #群 一覧：

(2) 複素数成分の場合

▶U(n) #ユニタリ群
#ユニタリ行列 (#逆行列 が #随伴行列)

▶SU(n) #特殊ユニタリ群
ユニタリかつ #行列式=1

※参考:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
特殊ユニタリ群は #素粒子物理学 で頻出.

#群論の初歩 82

#行列 の積に関する #群 一覧：

(1) おもに実数成分の場合

▶GL(n) #一般線形群
#正則行列

▶SL(n) #特殊線形群
#行列式=1

▶O(n) #直交群
実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列)
(行列式=±1)

▶SO(n) #特殊直交群(#回転群)
直交行列かつ行列式=1

＜#代数学の参考書＞

「連続群論(上)」(1957ポントリャーギン)

『広い見地に立って解説された
#位相群論 の教科書として
世界的に定評のある古典的 #名著.
原著第2版からの翻訳.
#群 と #位相代数 にはじまり
特色ある
#コンパクト・リー群 の構造論まで
くわしくしかも平易な記述で解説.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p3より引用:
『#一般線型群 GL(n，ℂ) には
① #群 という #代数的構造
② #距離 によって定義されるいわゆる #位相的構造
が導入されて，この2構造は
「#代数的演算 が #連続 となる」
という意味で #両立 している.』

#群論の初歩 81

Q.
SL(n,C) や U(n) が
GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか

A.
n 次 #正方行列 のうち
GL(n,C): #正則行列 全体
SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体
U(n): #ユニタリ行列 全体

いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で
SLはGLの部分集合
UはGLの部分集合.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p21より引用:
『#コーシー の
#群論 への #貢献 は
#1815年 に始まる.
彼は
「元が #置換 によって
表される群」のみを考えた.
#群(group)という #語 は
#1832年 に #ガロア が導入し
群が置換を用いずに
#定義 されることを示した.』

#群論の初歩 78

ユニタリ群 (unitary group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ n 次の #ユニタリ群 U(n) とは
n 次 #ユニタリ行列 のなす #群 のこと.

・ユニタリ群 U(n) は
#一般線形群 GL_n の #部分群.

#GröbnerBasis 1

グレブナー基底大好きbotさんによる
読みやすく簡潔なまとめ

「群、環、体って何？」
https://togetter.com/li/879778

#群: 足し算ができる(#逆元 として負数も考慮)
#環: かけ算もできる(商と余りも定義可)
#体: 割り算もできる(四則演算)

#群論の初歩 75

#回転群(rotation group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#特殊直交群(Special Orthogonal group). SO(n)

n×nの #直交行列 で
#行列式 が+1のもの全体が
乗法に関しなす #群.

物理学では
SO(3)＝空間回転のつくる群
の #表現論 が
原子・分子，原子核，素粒子，分光学で重要

#群論の初歩 71

特殊線型群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #特殊線形群 の元は「特殊」で，
ある多項式detが定める
#一般線形群 GLの部分代数多様体.

・特殊線型群 SL(n, R) は
R_nにおける「体積を保つ #線型変換」のなす #群.
線型変換の #行列式 が
体積の変化を測ると解釈できる.

#群論の知識

p-群 (p-group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・p-準素群(p-primary group)とも.

・任意の元の #位数 が
素数 p のべきになっている.

・ #群 の構造を理解するための
基本的な道具の1つ.

・「ほとんどすべての #有限群 が 2-群である」
という都市伝説的な予想がある.

#群論の初歩 69

Q.
X－{0} は
Xから0という要素を除いた集合を表す.

① ℤ－{0}
② ℚ－{0}
③ ℝ－{0}
④ ℂ－{0}
この4つの集合について
#部分群 の関係を作れるか？

A.
#二項演算 として #積 を考えると
②③④は #アーベル群.
①は #逆元 が無く #群 になれない.

∴
②≤③≤④

＜#代数学の参考書＞

『物理で「群」とはこんなもの』(共立出版1995)

書評より:
『#三次元物体 を
#コンピュータ が #認識 する場合も
#群 の考え方が注目される.
#偏微分方程式 の #解 を
求める方法として
古くから知られる
#自己相似解 においても
群の考え方が
解の #探索 に役立ち…』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p2より引用:
『#連続群 とは，
1つの #集合 であって
#群 という #代数的構造 と
今1つ #位相空間
もしくは #多様体 という
#幾何学的構造 を許し，
この2 #構造 が
先のℝやℂの場合のように
うまくからみ合っている物である.』

#群論の知識

#群 の #直積 (direct product of groups)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

群 A, B に対し
集合としての直積
A×B を考え，
その2元
x＝(a_1, b_1)
y＝(a_2, b_2)
x, y ∈ A×B
に対し
積を
xy＝(a_1 a_2, b_1 b_2)
のように成分ごとの #二項演算 として定義すると
A×B は群となる.