#巡回群とは 20

Q.
N乗して1になる複素数を
z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N)
とおく.
集合
S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 }
から #巡回群 を作れ.

A.
S上の #二項演算 として
乗法を導入した #代数系 をGとおくと，
G は z(N, 1) を #生成元 とする
#位数 Nの有限巡回群.

#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop

#代数系の初歩 3

代数的構造
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #代数的構造(algebraic structure)
#ブルバキ が導入した概念.

・代数的構造の具体例は
#群
#環
#体 など.

・代数的構造を持つ集合は
#代数系(algebraic system).

・代数系を研究するのが #代数学.

#代数系の初歩 2

Q.
#代数的構造 と
#代数系 の違い
および2者の関係は

A.
代数的構造:
演算や算法で決まる
集合の「構造」のこと.

代数系:
代数的構造を持つ「集合」のこと.

様々な代数系から
それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し
抽象化・ #公理 化したものが
代数的構造.

#代数系の初歩 1
↑
このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

＜#代数学の参考書＞

「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988)

p6より引用:
『#加法群(additive group)と
#加群(module)は，
#欧語 では対応する語の
ニュアンスが少し違っている。
加群という言葉は，
他の #代数系 と組み合わされ
#G加群 とか
#D加群 という形で
もっぱら使用される。』

＜#代数学の参考書＞

「代数学Ⅱ 環上の加群」
(東大出版2007桂)

前書きより引用:
『#東京大学 数学科では
#3年次 後期に
この「#代数学Ⅱ」と並行して
「代数学Ⅲ」が
#講義 されており，
これら3つの講義が
#数学科 3年次の
#代数系 の #知識 の
#基礎 を #固める 役割を
果たしている.』