#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop

#代数系の初歩 27

Q.
マグマから群まで
1つずつ条件を増やせ

A.
結合法則を最初に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#半群: 閉 結
#モノイド: 閉 結 単
　　　#群: 閉 結 単 逆

結合法則を最後に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#準群: 閉 　 　 除
　　#擬群: 閉 　 単 逆
　　　#群: 閉 結 単 逆

#代数系の初歩 20

Q.
#半群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
正の整数が全て出る
特殊なサイコロを考える.

#単位元 がないので
サイコロの目に0は無い.
(動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない)

#逆元 がないので
進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 16

Q.
マグマ
半群
モノイド
群
を順に定義

A.
集合が #内算法 を持てば
#マグマ

マグマに #結合法則 を課すと
#半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ)

半群に #単位元 の存在を課すと
#モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ)

モノイドに #逆元 の存在を課すと
#群

#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14

#モノイド(monoid)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・単系(たんけい)とも呼ぶ.

・1つの #二項演算 と
#単位元 をもつ #代数的構造 であり，
#結合法則 を満たす.

・モノイドは
「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」)
なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 13

#半群(semigroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・各元が #逆元 を持つとは限らない点と
#単位元 も無いかもしれない点で
#群 と異なる.

・台集合が有限集合である半群:
有限半群 (finite semigroup)

・台集合が無限集合である半群:
無限半群 (infinite semigroup)

#代数系の初歩 12

#結合法則(associative law)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

結合性(associative property, associativity):
結合律，結合則.

一部の #二項演算 が持つ性質.
被演算子の並びが変わらない限り
全体の演算結果に影響を与えない.

#群，#モノイド，#半群 の公理の一つ.

#代数系の初歩 11

Q.
#半群，#モノイド とは.

A.
#群 の #公理 のうち
#結合法則 を満たすものが半群.
#単位元 や
#逆元 の存在は要請しない.

群の公理のうち
結合法則と，
単位元の存在を満たすものがモノイド.
逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 1
↑
このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)