#群論の初歩 81

Q.
SL(n,C) や U(n) が
GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか

A.
n 次 #正方行列 のうち
GL(n,C): #正則行列 全体
SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体
U(n): #ユニタリ行列 全体

いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で
SLはGLの部分集合
UはGLの部分集合.

#群論の初歩 79

ユニタリ行列 (unitary matrix)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

U^* U = U U^* = E
を満たす複素 #正方行列 U は
#ユニタリ行列.
※U^* は U の #随伴行列 (U^* = (U̅)^T)

・ #直交行列 を
複素数体へ拡張したものがユニタリ行列.
実ユニタリ行列は直交行列に等しい.

#群論の初歩 54

Q.
(1)
n 次 #正方行列 全体の集合Mは
加法について #群 をなす.

(2)
n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は
行列の積について群(#一般線形群)をなす.

(1)(2)は各々,可換群か?

A.
(1)の加法は可換ゆえ
#アーベル群 および #加法群.

(2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 49

Q.
n次 #正方行列 全体Mから
#零行列 O を除外した集合
M－{O} は,
#行列 の積演算について #群 か?

A.
例えば2×2行列の場合
X＝
(1 0
0 0)
Y＝
(0 0
1 0) の時
XY=YX=Oで
M－{O}の内部で演算が閉じていないので
群ではない.

(Oでない行列同士の積がOになり得る.)

#群論の初歩 48

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mから
#零行列 O を除外した集合
M－{O}
は，
#行列 の和演算について #群 か?

A.
演算の #単位元 が存在しないので
群ではない.

#群論の初歩 47

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mは
#行列 の積演算について #群 か?

A.
Mの任意の元Aに対し
AE＝EA＝Aより
n次 #単位行列 Eが
積演算の #単位元.

しかし #零行列 Oは
OA＝AO＝Oで,
Oにいかなる元をかけても
単位元Eにならず
Oには #逆元 が存在しないので
Mは群でない.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.