#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
135

#群論：2次 #行列 の #位数 の可能性(お詫び・訂正版)
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(2015江口・菅原)

前書きより:
『#共形代数 の #表現論 と
#保型形式 の理論，
そして
巨大な #位数 を持った
#有限群 との間の
#ミステリアス な関係である
#ムーンシャイン と呼ばれる現象に
新しい #発展 があり，
本書の最後の部分で紹介したい.』

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)

p73より:
『#正多角形 の
#合同移動 の #群 は
#2面体群(dihedral groups)
という.
dihedralという言葉は
「2つの #平面」に #起因 する.
2面体群の
一般的な #記号 として
Dを用いる.
#正三角形 の
#位数 6 の2面体群はD_3.』

#群論入門_正規部分群編 39

2つの #交換子 の積が
交換子とならない
最小位数の #有限群 は #位数 96.

その証明論文:
Commutators and Commutator Subgroups
ROBERT M. GURALNICK (1982)
https://core.ac.uk/download/pd...
"Here it is shown that the smallest groups G
... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 37

交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.

2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
109

#群論：要素の #位数 が総て #素数 である #群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 69

英語名称のおさらい

#巡回群 cyclic group
単項生成群 monogenous group

#生成元 generator
原始元 primitive

#巡回部分群 cyclic subgroup
#単位群(自明群) trivial group
#位数 order

#巡回群とは 48

以前
「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は
#単位群{e}と自分以外に部分群を持たない.
これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った.

前ツイによると
「真部分群を持たない群は
素数★ #位数 の #巡回群 のみ」.
素数つながりである.

#巡回群とは 47

前ツイの解説:

#群 G内に
#単位元 eではない元aがあれば，
その元a(≠e)を使って
必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる.
これはGの部分群であり，
e, a ∈ ‹a› より
‹a› の位数は2以上.

つまり
Gの #位数 が2以上なら，
Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 46

Q.
#群 Gが |G|≧2で
#真部分群 を持たなければ
Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ.

A.
#単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが
題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G.
前ツイより
|G|が合成数nなら
nの約数mにより位数n/mの部分群があるので
|G|は素数.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
84

（番外編）#群論：#位数 3p^n の #群 の #可解性
https://www.youtube.com/watch?...

#可解
#代数 #代数学

#巡回群とは 45

ここで得られた結果は
「#巡回群 Gには，
|G|の任意の約数mに対し
#位数 がmであるような
Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」
というもの.

群論の勉強を進めると，この先
「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」
(#ラグランジュの定理)
というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44

前ツイの解説:

「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは
aのある #べき で生成される巡回群」
を既に示してある.

ここで
「Hの #位数 mを固定すると
Hの #生成元 a^i＝a^sも
そこから一意に特定できる」
という事を言えれば，

特定の位数mの部分群Hが
一意だと示せる.

#巡回群とは 43

Q.
#位数 n の #巡回群 ‹a›と
nの約数mに対し
位数mの #部分群 が
ただ1つ存在する事を示せ

A.
位数mの任意の部分群をHとし
a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば
前ツイまでよりH=‹a^s›.
巡回群の位数の性質より
(a^s)^m＝e＝a^n
∴s＝n/m
Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 40

Q.
#群 Gの元aの #位数 がnの時
a^m(m∈ℕ)の位数は?

A.
mとnの最大公約数がGCD(m,n)=d
M,Nは互いに素な自然数で
m=Md
n=Ndの時
a^n=a^(Nd)=e
ここで
a^m=a^(Md)をN乗すれば
{ a^(Md) }^N
=a^(MdN)
={a^(Nd)}^M
=e
より
|a^m|=N=n/d=n/GCD(m,n).
※最小性に追加証明が必要.

#巡回群とは 39

Q.
#群 G の元 a の #位数 が n で
m は n の約数とする.
このとき n/m ＝ d は整数である.
a^d の位数は?

A.
「その元を何乗すると #単位元 になるか」
という最小の値が位数である点に注意.

a^n＝e のとき
{ a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので
∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38

Q.
#群 Gの元aの #位数 がnで
mはnの約数とする.
a^mの位数は?

A.
a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち
最小のものがnであり
a^n=e.

n=md (m,dは自然数)とおくと
a^(md)=e.

ここで
md=knとなる最小の自然数kはk＝1より
(a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは
d=n/m

∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 37

Q.
ここまで出てきた「#位数」の定義を整理
①#有限群 Gの位数
②#巡回群 ‹a› の元 x の位数
③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数

A.
①
群Gに属する異なる元の個数.

②
x^n=eとなる最小の自然数n.

③
aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36

Q.
「#巡回群 の元の #位数」は定義済.
では
巡回群とは限らない一般の #群 Gの
元aの位数とは.

A.
aが #生成 する #巡回部分群
‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …}
が位数nの #有限群 なら
元aの位数はnとする.

→巡回群でない一般の群も
元の位数を定義可能