#解析力学_Hamilton形式編 9

Q.
1次元調和振動子は
#相空間 上でどんな軌道を描くか

A.
粒子の位置を x
運動量を p とすると
#位相空間 上の点は (x,p) で表される.

#ハミルトニアン は
H＝(p^2)/2m＋(kx^2)/2
なので
エネルギーが一定の条件下で振動する場合
相空間上で描く軌跡は楕円.

#解析力学_Hamilton形式編 8

Q.
物理学で #相空間(#位相空間)とは

A.
phase space
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

力学系の位置qと運動量pを
座標(直交軸)とする空間.

数学の位相空間(topological space)とは別物.

#ハミルトン形式 では
物理量は #正準変数 q,pの関数で
相空間上で軌道を描く.

＜#代数学の参考書＞

「連続群論」(岩波書店1957ポントリャーギン)

序文より:
『増補と共に
この再版に本質的なものは
#コンパクト群 または
#局所コンパクト群 に関し
#第2可算公理 の仮定を外した事。
この変更はこの本の多くの章，
特に #位相空間 について述べる
第2章に相当の影響…』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)
https://bookmeter.com/books/67...

p35より:
『#位相群 G が #位相空間 X に
#推移的 に #作用 している場合
位相空間 X は
位相群 G の #等質空間 であるという.
位相群 G の #閉部分群 H による
#剰余空間 G/H は
G の等質空間である.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p20より引用:
『#集合 Gが次の条件を満たす時
Gを #位相群 という.

① Gは #群 である.
② Gは T_1 空間である. ※
③ Gの #群演算 は #連続 である.』

※p16より:
T_1 #分離公理 をみたす #位相空間 を T_1 空間という.

量子状態の位相空間正性—量子力学における基本的な課題—はフシミ関数の局所微分を通じて完全に特性化でき、微分階層に組織化されています。これは量子幾何学と可積分ダイナミクスをつなぎます。

#量子幾何学 #位相空間 #量子情報

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p2より引用:
『#連続群 とは，
1つの #集合 であって
#群 という #代数的構造 と
今1つ #位相空間
もしくは #多様体 という
#幾何学的構造 を許し，
この2 #構造 が
先のℝやℂの場合のように
うまくからみ合っている物である.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン)

序論より:
『純粋に #論理学 的な
観点から見れば，
#位相群 は，
#群 と #位相空間 という
2つの数学的概念を
組合わせたものに他ならない.
従って，位相群の概念は
極めて #自然 に
#公理的 に組立てる事ができる.』

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(2021浅田)

p151より:
『#独立 な #運動の定数 が
2N-1個あれば，
#物体 の #物理状態 は
#位相空間 内で
2N-(2N-1)＝#1次元 に制限される.
この1次元領域は #線 であり，
#一般化座標 と #一般化運動量 の間の
ある #関数 関係を表す.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン)

序論より引用:
『#連続群(または #位相群)
という概念は，歴史的には
#連続変換群 の研究から
生じたものである。
連続変換群，例えば
#幾何学 に現われる #変換群 は，
#自然 な #位相 で
#位相空間 になっている。』

＜#代数学の参考書＞

「3次元回転
パラメータ計算とリー代数による最適化」
(共立出版2019金谷)

出版社による公式ページ
https://www.kyoritsu-pub.co.jp...
・正誤表あり。
・前書きと目次を読める。

『#位相空間，#多様体，
#リー群，#リー代数 なども取り上げる。
#章末 に #問題 も #収録。』

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(2021浅田)

p150より:
『#ハミルトン力学 において
#運動の定数 という #条件 が1つあれば，
2N #次元 の
#位相空間(#相空間)内で
#物体 の #状態(#軌道)の
#存在 できる #領域 が #制限 される.
すなわち
2N-1次元の領域に制限される.』

#群論の知識

#基本群 (fundamental group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #代数トポロジー において，
「ある固定された点を
始点と終点にもつ2つのループが
互いに連続変形可能か」を測る
点付き #位相空間 に付帯する #群.

・ #ホモトピー群 の最も単純な例.

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

前書きより:
『第3章は
#位相空間 の #基本群 の
#定義 から始めて，
#位相群 の基本群や
#等質空間 の基本群について
#叙述 した.
これらの #空間 の
#幾何学的 構造の研究は
#連続群論 で多くの
興味ある話題を提供している.』

＜#代数学の参考書＞

「リー群の話」(日本評論社1982佐武)

前書きより:
『#リー群 に関する
#正統 の教科書は
多くの #専門的 予備知識
(#位相空間，#多様体 論等)
を必要とするので
仲々取りつき難く，
そのために #リー群論 そのものも
#敬遠 されてしまうことが
多いのではあるまいか.』