#群論入門_剰余類編 41

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.

hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ

A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G

#群論入門_正規部分群編 42

#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.

・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.

#群論入門_正規部分群編 37

交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.

2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」

#群論入門_正規部分群編 36

Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？

A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.

つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.

よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.

#群論入門_正規部分群編 17

Q.
#アーベル群 Gの
#部分群 Nは，
Gの #正規部分群 でもある事を示せ

A.
Nの元nの
Gの元gによる #共役変換 は
f(n)
=g^{-1} n g
GとNは #二項演算 が共通で
nはGの元でもあり
G内とN内で #交換法則 が成立するので
=g^{-1} g n
=n ∈N

∴NはGの正規部分群.

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 28

Q.
H を
元 a によって #生成 される
Gの #巡回部分群 とする.
H が G の #部分群 である事を示せ.

A.
前ツイよりHは #群.
また前提より a∈G で
群Gの #二項演算 は #閉じている ので
aの任意の #べき はGに属する.
∴Hの全ての元がGに属し
HはGの部分集合で
HはGの部分群.

#巡回群とは 27

Q.
Hを
元aによって #生成 される
Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする.

Hが #群 である事を示せ.

A.
H の任意の2元に対し
(a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで
#二項演算 が #閉じている.
#単位元 は a^0＝e.
任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在.
よって H は群である.

#巡回群とは 21

Q.
整数全体の集合ℤを
#巡回群 とみなす場合
その #生成元 は.

A.
a＝+1 または
a＝-1 を生成元とし，
#二項演算 として加法
#単位元 1
元 x の #逆元 として －x を考え，
演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し
その全体の集合は
{ na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 20

Q.
N乗して1になる複素数を
z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N)
とおく.
集合
S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 }
から #巡回群 を作れ.

A.
S上の #二項演算 として
乗法を導入した #代数系 をGとおくと，
G は z(N, 1) を #生成元 とする
#位数 Nの有限巡回群.

#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop

#代数系の初歩 24

Q.
#準群 と
#群 を比較せよ.

A.
共通した性質:
・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ)

群の場合:
・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす.

準群の場合:
・単位元や結合法則は要請されない.
・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14

#モノイド(monoid)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・単系(たんけい)とも呼ぶ.

・1つの #二項演算 と
#単位元 をもつ #代数的構造 であり，
#結合法則 を満たす.

・モノイドは
「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」)
なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 12

#結合法則(associative law)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

結合性(associative property, associativity):
結合律，結合則.

一部の #二項演算 が持つ性質.
被演算子の並びが変わらない限り
全体の演算結果に影響を与えない.

#群，#モノイド，#半群 の公理の一つ.

#代数系の初歩 10

#マグマ (数学) 英:magma
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる.
ただしこれとは別に，
#圏論 に「亜群」という用語があるので
混同してはならない.

・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し
それ以外の何らの #公理 も課さない.