#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
30 / 86

【線形代数#30】#内積 ・ #外積 ・ #行列式 の図形的性質
https://www.youtube.com/watch?...
19:11

#ベクトル
#数学 #大学数学

#たった10ツイートでわかる線形代数

補遺 (2/4)

▶#行列式
#サラスの方法 で
・https://ramenhuhu.com/math-sar...
・https://domeblog.net/sarrusdet...
#余因子展開 で
・https://linky-juku.com/cofacto...
・https://linear-algebra.com/ent...

▶#余因子行列 で逆行列
・https://ai-trend.jp/basic-stud...
・https://linky-juku.com/cofacto...
.

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
23 / 86

【線形代数#23】演習③ ～ #行列式 ・ #余因子行列 ・ #正則性 の判定～
https://www.youtube.com/watch?...
12:38

#正則 #行列
#数学 #大学数学

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AKITOの勉強チャンネルによる
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【線形代数#22】#行列式 の #積
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19:24

#数学 #大学数学

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
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【線形代数#18】#行列式 の性質
https://www.youtube.com/watch?...
23:07

#行列
#数学 #大学数学

#たった10ツイートでわかる線形代数
6/10

Q.
1) #余因子行列 の定義
2) 「#逆行列 を求める公式」

A.
1)
正方行列Aの
全ての #余因子(cofactor) C_{i,j} を並べた行列Cが
Aの余因子行列(matrix of cofactors)

2)
余因子行列を転置し
#行列式 で割ると
逆行列になる.
A^{-1}＝C^T / |A|

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AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
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【線形代数#17】#行列式
https://www.youtube.com/watch?...
19:40

#行列
#数学 #大学数学

#たった10ツイートでわかる線形代数
5/10

Q.
#小行列式 と #余因子 の定義

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

(i, j)小行列式M_{i,j}
i行とj列を除去した結果の部分行列の #行列式.
余因子の計算に使う

(i, j)余因子
符号付きの小行列式.
C_{i,j}＝(-1)^{i+j} M_{i,j}
#余因子展開 に使う

#たった10ツイートでわかる線形代数
4/10

Q.
#行列式 の計算法
1) 2次
2) 3次
3) 4次以上

A.
1)
ad－bc

2)
#サラスの方法 で計算
(無意識に手が動くまで反復練習)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

3)
ある行か列に注目し #余因子展開
1つサイズの小さな行列式で表せ
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

#たった10ツイートでわかる線形代数
3/10

Q.
#行列式 |A|=detA
1) 意味
2) |A|≠0時のAx=b
3) |A|=0時のAx=0

A.
1)
#逆行列 や非自明解の存在判別式.
n本のベクトルが張る立体の体積

2)
|A|≠0
⇔逆行列A^{-1}が存在.Aは #正則
⇔Ax=bは唯一解を持つ

3)
|A|=0
⇔Ax=0は非自明解x≠0を持つ

#群論の初歩 83

#行列 の積に関する #群 一覧：

(2) 複素数成分の場合

▶U(n) #ユニタリ群
#ユニタリ行列 (#逆行列 が #随伴行列)

▶SU(n) #特殊ユニタリ群
ユニタリかつ #行列式=1

※参考:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
特殊ユニタリ群は #素粒子物理学 で頻出.

#群論の初歩 82

#行列 の積に関する #群 一覧：

(1) おもに実数成分の場合

▶GL(n) #一般線形群
#正則行列

▶SL(n) #特殊線形群
#行列式=1

▶O(n) #直交群
実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列)
(行列式=±1)

▶SO(n) #特殊直交群(#回転群)
直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 81

Q.
SL(n,C) や U(n) が
GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか

A.
n 次 #正方行列 のうち
GL(n,C): #正則行列 全体
SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体
U(n): #ユニタリ行列 全体

いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で
SLはGLの部分集合
UはGLの部分集合.

#群論の初歩 80

Q.
#代数学 において
SU(n) は何を表すか.

A.
n 次の #特殊ユニタリ群
(special unitary group) を表す.

すなわち
#行列式 が 1 であるような
n 次 #ユニタリ行列 の成す群.

SU(n)＝{ A ∈ GL(n,ℂ) | AA^*＝E, det A＝1 }

#群論の初歩 75

#回転群(rotation group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#特殊直交群(Special Orthogonal group). SO(n)

n×nの #直交行列 で
#行列式 が+1のもの全体が
乗法に関しなす #群.

物理学では
SO(3)＝空間回転のつくる群
の #表現論 が
原子・分子，原子核，素粒子，分光学で重要

#群論の初歩 74

直交群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #直交群 とは
元がn×nの実 #直交行列 で
群の積が行列の積によって与えられるもの.

・直交行列の #行列式 は ±1

・O(n) の重要な #部分群 である
#特殊直交群 SO(n) は
行列式が+1である直交行列からなり
#回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 71

特殊線型群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #特殊線形群 の元は「特殊」で，
ある多項式detが定める
#一般線形群 GLの部分代数多様体.

・特殊線型群 SL(n, R) は
R_nにおける「体積を保つ #線型変換」のなす #群.
線型変換の #行列式 が
体積の変化を測ると解釈できる.

#群論の初歩 70

Q.
SL( n, V ) とは

A.
#特殊線形群(Special Linear group)を表す.

#行列式 が1であるような
#正則 な
n 次元正方行列全体の集合である.

SL( n, V ) ＝ { A ∈ GL( n, V ) | det A＝1}

#群論の初歩 53

一般線形群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・n 次正方行列全体のうち
「#正則行列 全体が
行列の積に関してなす群」を
#一般線形群 という.
GL_n ( F ) または GL( n, F ) と表す.

・ #行列式 がゼロでない #行列 全体
と言い換えてもよい.

線型代数の像Imと核Kerの意味
https://study-guide.hatenablog...

#固有値問題 は
(A－λE)x＝0 と書けるから，
A－λE の #カーネル を求める作業である.

カーネルに0以外の要素が含まれる
＝写像が #単射 でない
＝ #行列式 が0

だから固有値問題を解く時は
A－λEの行列式＝0 とおく.