#群論の知識

#類関数(class function)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・中心函数(central function)，中心的な関数とも

・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で)
値が不変となる関数.
#群 G の任意の元s,tに対し
f( s^{-1} t s)＝f(t)

・複素数値の類函数は
#コンパクト群 の #表現論 で重要

＜#物理数学の参考書＞

SGCライブラリ
「共形場理論
現代数理物理の基礎として」(2011)

前書きより
『本書でカバーできなかった
進んだ話題は
#Affineリー代数 と
#自由場表現，
#超共形代数 とその #表現論 など.
#共形場理論 の応用として重要なのは
#超弦理論 であるが本書は扱わない.』

#群論の知識

「#群 の #表現論 といっても
#ジョルダン標準形 の話と
ある意味で同じである。

本書第3章の趣旨は，
ジョルダン標準形の理論は
K[T] #加群 の分類に等しい
という事であった。

すなわちそれは，
#モノイド N_0 の表現論なのである。」

(朝倉書店「加群十話」より)

#群論の知識

「#表現論 は，
Gが #無限群 のときは
#リー群 や代数群の連続表現を除いて，
ほとんど手がついていないほど難しい。

また #有限群 の場合でも，
#体 Kの #標数 が0でないときは
なかなかの困難を見せており…」

(朝倉書店「加群十話」1988年)

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(2015江口・菅原)

p59より:
『#ビラソロ代数 の
#表現論 に立ち入る前に，
#量子力学 で
#回転群 あるいはSU(2)の
果たす役割を復習.
SU(2)の #表現 を
詳しく調べる事で
#スピン の #量子化 が得られる.
SU(2)は3つの #生成子
J_1，J_2，J_3を持つ.』

#群論の知識

#シューアの補題 (Schur's lemma)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#群 の #表現論 で基本的かつ有用な定理.

下記ページの説明が簡潔.
https://ja.wikibooks.org/wiki/...

Schurの補題:
φ : G → GL(V)
ψ : G → GL(W)
を #既約表現 とすると，
G #準同型
f: V → W
は零写像か #同型 写像.

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(2015江口・菅原)

前書きより:
『#共形代数 の #表現論 と
#保型形式 の理論，
そして
巨大な #位数 を持った
#有限群 との間の
#ミステリアス な関係である
#ムーンシャイン と呼ばれる現象に
新しい #発展 があり，
本書の最後の部分で紹介したい.』

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数　原著第2版」
(ジョージァイ2010)

裏表紙より:
『#簡単 な #量子力学系 から
#アイソスピン，そして
SU(5) や SO(10) や
#例外群 に基づく
#大統一理論 に至るまで，
#リー代数 とその #表現論 を
#説明 してゆく #手際 は
#見事 である。』

＜#物理数学の参考書＞

「リー理論と特殊函数」(1975ミラー)

前書きより
『本書英語版(1968)が出版されて以来
#Lie環 の #表現論 からする
#特殊函数 の研究は
かなりの進歩を見た.
下記論文を参照』

Symmetry,
Separation of Variables,
and Special Functions
https://www.sciencedirect.com/...
.

#群論の知識

#表現論 (representation theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#ベクトル空間 の線形変換」として
#代数的構造 を #表現 することで，
代数構造上の #加群 を研究する分野.

抽象的な代数的構造の元と演算を
#行列 と行列の和や行列の積で記述し，
より具体的にする.

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(1996吉川)

p5より
『空間の性質に関連しなくても
物理系の構成要素の数により
高次の #群 が応用される.
#量子力学系 では
その #力学系 特有の #対称性 が
隠れて存在している場合もある.
これらの事情で一般の
#コンパクト単純リー群 の #表現論 を…』

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原)

p2より引用:
『#アノマリー の大きさは
#共形場理論 を特徴付ける
重要なパラメータであり，
物理系の自由度の大きさの目安を与え，
#ビラソロ代数 の #表現論 においては
#中心電荷 として活躍する。』

＜#代数学の参考書＞

「新版 リー環の話」(日本評論社2002佐武)

新版の前書きより:
『この #版 で新しく
第15-17章として
#半単純リー環 の #表現論 に関する
説明を書き加えた.
さらにその #応用 として，付記Aに
#複素半単純リー群 と
その #コンパクト実型 についても
簡単に解説した.』

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論入門」(培風館2006山田)

書評より:
『Ψ(z) は
#共形ブロック と呼ばれるが
この #多価函数 の持つ
#数学的 な内容の
#豊かさ が #発見 された事で
#組み紐群 や
岩堀-Hecke代数の #表現論，
#量子群 の表現論，そして
種々の #位相不変量 へ結びつく.』

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」
(岩波書店2015江口・菅原)

前書きより引用:
『#カラビ・ヤウ多様体 上に
#コンパクト化 された
#弦理論 の場合は
𝒩＝2 #超共形代数 が，
また #K3曲面 上に
コンパクト化された
弦理論の研究には
𝒩＝4 超共形代数の
#表現論 が #重要 となる。』

＜#物理数学の参考書＞

数理物理シリーズ1
「共形場理論入門」
(培風館2006山田)

書評(2007年)
https://www.jstage.jst.go.jp/a...

引用:
『#Virasoro代数 の #表現論 は
#1980年代 中頃までに
ほぼ満足のいく形に整備された
(Kac，Feigin-Fuchsら)。』

＜#代数学の参考書＞

「群とその表現」(共立出版1967服部)
https://amazon.co.jp/dp/B000JA...

前書きより:
『#有限群 の #表現論 としては
本書に述べた通常表現論のほかに，
Brauerを中心として建設されている
modular表現論が大きな領域をなしている.
また近年は #整数表現 に関する領域が研究…』

＜#代数学の参考書＞

共立数学講座18「群とその表現」
https://www.amazon.co.jp/dp/B0...

・出版年: 1967年
・出版社: 共立出版
・著者: 服部昭

『本書のテーマは #群 とその表現で
特に #表現論 の解説を主眼としている.
対象を #有限群 の通常表現に絞り
#群環 の媒介を重んずる扱い方で述べた.』

＜#代数学の参考書＞

「回転群とその表現」(岩波書店1957山内)

序文より:
『#終戦後 の世情に対する不安と
学問の #復興 に対する希望.
その後 #10年 忘れられかけていた
#回転群 の #表現論 も
#原子核 の問題で再び取り上げられ
これに関心を持つ研究者の数も
増してきたので改めて刊行』