#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
116

#環論：#局所化 の #交叉 として表される #環
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#環論の知識

#極大イデアル (maximal ideal)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 R において
R以外の #左イデアル で
集合の包含関係に関し極大なものが
Rの #極大左イデアル.

別の言い方では
左イデアル I を真に含む左イデアルが
Rしかない時
I はRの極大左イデアル.

右に関しても同じ.

#環論の知識

#主イデアル (principal ideal)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 R のある単一の元により #生成 された
R の #イデアル のこと.
単元生成されたイデアル.

#単項イデアル とも呼ばれるが，
#単項式イデアル とは別物なので注意.

＜#代数学の参考書＞

「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988)

p29より引用:
『いまの #代数学 では
色々な #環 の事を
#代数(algebra)ともよぶ.
･#結合代数
･#可換代数
･#リー代数
という具合にである.
つまり
　「#代数学とは環の研究である」
という #テーゼ が
立っているわけだ.』

#環論の知識

#標数 (characteristic)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 や #体 の特徴を表す0以上の整数.

環Rの乗法の #単位元 1を
n回の加法演算で足し合わせた結果が
0(加法の単位元すなわち環の #零元)に等しい時
nの最小値をRの標数という.

何回足し合わせても0にならない場合
標数は0.

#代数系の初歩 3

代数的構造
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #代数的構造(algebraic structure)
#ブルバキ が導入した概念.

・代数的構造の具体例は
#群
#環
#体 など.

・代数的構造を持つ集合は
#代数系(algebraic system).

・代数系を研究するのが #代数学.

#GröbnerBasis 1

グレブナー基底大好きbotさんによる
読みやすく簡潔なまとめ

「群、環、体って何？」
https://togetter.com/li/879778

#群: 足し算ができる(#逆元 として負数も考慮)
#環: かけ算もできる(商と余りも定義可)
#体: 割り算もできる(四則演算)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
28

#環論：#実数値関数 のなす #環
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

＜#代数学の参考書＞

「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988)
http://www.asakura.co.jp/books...

前書きより:
『#代数学 とは
#加群(module)を調べる事だ
と言ってしまった方が早い.
これには注釈を要する.
普通，#環 の研究は，
#環上の加群，すなわち
環が働く #加群 の研究に
帰着されている.』

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
13

#環論：#単位元 を持つとは限らない #環 の #極大イデアル と #剰余環
https://www.youtube.com/watch?...

#イデアル
#代数 #代数学

#加群の知識

#加群 の #根基 (radical of a module)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
R を #環，
M を左 R-加群とし
M のすべての #極大部分加群 の共通部分を
加群 M の根基 と呼び
rad(M) で表記する。

#体論の初歩 2

Q.
代数方程式について考える時
どうして #体 の概念が必要なの？
#群 や #環 じゃだめなの？

A.
「移項して両辺を係数で割ってx＝の形を作る」
すなわち
「代数的な式変形で求解」
という操作において，
「0除算を禁止した割り算」
が必要なので，条件として体が必要.

#体論の初歩 1

Q.
#群，#環，#体 の3つのうち
「#対称性」を考える上で
最も有用なのはどれか

A.
環と体は2種類の #二項演算 をたばねた構造で
「#逆元 が存在しない場合」という例外あり.

一方，群はシンプルで
1種類の二項演算のみを扱い
どの要素も確実に逆元の存在が保証されている.

＜#代数学の参考書＞

「リー群の話」(1982佐武)

http://www.anlyznews.com/2017/...
『#数物系 学徒が
呟く率が高いのは，
#リー群 や #リー環.
#線形代数 で表される #連続群 と
その #接ベクトル が構成する
#交代積 について #閉じている
#環 の #代数 は
#物理学徒 にとって
無くてならない物…』

＜#代数学の参考書＞

数学のかんどころ17
「環論，これはおもしろい
―素因数分解と循環小数への応用」
https://www.amazon.co.jp/dp/43...
・出版社: 共立出版
・出版年: 2013年
・著者: 飯高

『様々な #環 の性質について
基本から応用まで解説.
応用例として
分数の #小数展開 の問題を取り上げる』