#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop

#代数系の初歩 27

Q.
マグマから群まで
1つずつ条件を増やせ

A.
結合法則を最初に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#半群: 閉 結
#モノイド: 閉 結 単
　　　#群: 閉 結 単 逆

結合法則を最後に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#準群: 閉 　 　 除
　　#擬群: 閉 　 単 逆
　　　#群: 閉 結 単 逆

#代数系の初歩 26

Q.
#擬群 とは.

A.
#準群 に #単位元 e の存在を課したもの.

除法と単位元の存在より，
任意の元が #逆元 を持つことになる.

#擬群(loop)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
・別名「ループ」.
・ #結合法則 は課されない.

#代数系の初歩 25

#準群(Quasigroup, quasi-group)
https://en.wikipedia.org/wiki/...

・空でない #マグマ で，除法が常にできるもの.
("division" is always possible)
「逆マグマ」とも呼ぶ

・結合法則は課されない(not necessarily associative)

・単位元を持てば「ループ(#擬群)」と呼ぶ

#代数系の初歩 24

Q.
#準群 と
#群 を比較せよ.

A.
共通した性質:
・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ)

群の場合:
・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす.

準群の場合:
・単位元や結合法則は要請されない.
・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 23

Q.
#準群 Ｑの任意の2元a,bに対し
① ax=bなるxと
② ya=bなるyが存在.
a=bの時
①' ax＝a
②' ya＝a
この式から
「#準群 には #単位元 も存在」と言えるか?

A.
①' ②' で一般にx≠y.
さらに元aごとに①' ②' をみたすx,yは異なる。
よってＱに単位元は一般に無い。

#代数系の初歩 22

Q.
#準群 がもつ「除法」とは.

A.
#マグマ Ｑの任意の2元 a, b について
ax＝b をみたすxと
ya＝b をみたすyが存在する時，
Qを準群と呼ぶ.

つまり，ある1つの元aに
左または右から
何か(xやy)を作用させることで，
必ずQ内の他の元bに作り替えられる
ということ.

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

#代数系の初歩 1
↑
このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)