#群論の知識

#大直交性定理 (Schur orthogonality relations)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 G の #既約表現 α の
#ユニタリ表現 行列 D^(α) の
行列要素 D^(α)_ij (G) について
その間に成り立つ直交関係のこと.

#シューアの補題 から導かれる.

＜#代数学の参考書＞

「群論への30講」(朝倉書店1989志賀)

前書きより:
『おしまいの方では
#位相群 にも触れておいた.
そうする事によって
#群 が #現代数学 の
いろいろな諸概念と
ごく自然に結びつき
そのために群はいまなお
現代数学の #根幹 にあって
積極的に働き続けている事を…』

#群論の知識

#シューアの補題 (Schur's lemma)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#群 の #表現論 で基本的かつ有用な定理.

下記ページの説明が簡潔.
https://ja.wikibooks.org/wiki/...

Schurの補題:
φ : G → GL(V)
ψ : G → GL(W)
を #既約表現 とすると，
G #準同型
f: V → W
は零写像か #同型 写像.

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理

#群論の知識

#既約表現 (きやくひょうげん)
irreducible representation; irrep
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 などの表現論において
#表現 ρ:G→GL(V)が #既約 とは
自明でない部分表現を持たないことをいう.

真の非自明な不変部分空間を持つ表現ρは
#可約(reducible)という.

#群論入門_正規部分群編 60

Q.
#ガロア理論 で
#可解群 の概念はなぜ重要?

A.
n次方程式には
その方程式の #ガロア群 という
#群 を定義できる.

ガロア群が #可解 ならば
その方程式には #解の公式 が存在する.

5次以上の方程式のガロア群は
可解群でないので，
解の公式が存在しない.

#群論入門_正規部分群編 59

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達しない」
↑
列の末尾に #単位元 が無いってこと？

A.
そうではない.
先頭の #群 Gは必ず単位元eを含み
その #交換子群 も必ずeを含み
列内で順次，常にeを含む.
e"以外"の元を「消す」事ができれば単位群に到達する.

#群論入門_正規部分群編 58

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
しない場合もあるの？

A.
ある #群 Gの #交換子群 D(G)が
G自身になってしまう事がある.
交換子群列のどこかでこれが生じると
D( D_i(G) )＝D_i(G)
で
…⊳D_i(G)⊳D_i(G)
となってしまい
{e}に到達できない.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)

p73より:
『#正多角形 の
#合同移動 の #群 は
#2面体群(dihedral groups)
という.
dihedralという言葉は
「2つの #平面」に #起因 する.
2面体群の
一般的な #記号 として
Dを用いる.
#正三角形 の
#位数 6 の2面体群はD_3.』

#群論入門_正規部分群編 55

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
適当な n∈N に対し，
n次 #導来部分群 が {e} となるような #群 は
#可解群 と呼ばれる.

#可解 群(solvable group, soluble group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・導来列(#交換子群列)が #単位群 で終わるような群のこと

#群論の知識

群の #表現 / #既約表現
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

Gを #群，Tを #線形変換 とし
{ T(g) | g∈G } で不変な
#表現空間 V ≠ {0} の #部分空間 が
Vと {0} の2つ以外に存在しないとき，
表現 (V, T) は #既約 であるという.

既約でない表現を #可約 という.

#群論入門_正規部分群編 53

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)を
G内の
「#交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」と解釈する場合
#交換子群列
G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳…
の意味は

A.
Gの非可換性の強さがD_1(G).
D_1(G)の非可換性の強さがD_2(G).
D_i(G)の非可換性の強さがD_{i+1}(G). …

#群論入門_正規部分群編 51

Q.
#群 Gの #交換子群列 とは.

A.
Gの #交換子群 をD(G)＝D_1(G),
D_i (G) の交換子群を D_{i+1} (G)
として帰納的に
G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ …
なる #正規部分群 の列を作る時，
これをGの交換子群列という.

#群論入門_正規部分群編 50

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)
という集合の大きさの意味

A.
Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}.

D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時
Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは
「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」を表す
と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 49

短歌にしてみよう.

　交換子　共役変換　した後も
　そのままずっと　交換子だよ

#交換子 は
もとの #群 Gの元で #共役変換 しても
交換子のまま.

ゆえに，#交換子群 H は
もとの群Gの元による共役変換に対し
#閉じている ので
Gの #正規部分群 となる.

#群論の知識

#忠実 表現 (faithful representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 G の異なる元 g が
異なる #線形写像 ρ(g) によって #表現 される
線型表現のこと.

・ #群準同型 が #単射 であるということ.

#群論入門_正規部分群編 48

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子
[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)
[A,B]=‹ [a,b] | a∈A, b∈B ›
⊂ G

③群Gの
交換子群(交換子部分群)，
#導来群(#導来部分群)
D(G)=[ G, G ]
= ‹ [ g_1, g_2 ] | g_1, g_2∈G ›
◅ G

#群論入門_正規部分群編 47

Q.
#群 G の #交換子群 とは.
(1) 定義
(2) どう表記するか
(3) Gとの関係は

A.
(1)
群 G と G 自身との交換子群
[ G, G ] ＝ ‹ [ g1, g2 ] | g1, g2 ∈ G ›
のこと.

(2)
D(G) ＝ [ G, G ]

(3)
G ⊳ D(G)
交換子群はもとの群の #正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 46

Q.
#群 Gの #正規部分群 A, Bに対し，
#交換子群 [A, B] も
Gの正規部分群であることを示せ.

A.
t∈G, a∈A, b∈Bに対し
前ツイより
t^{-1} [a, b] t
=[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B]

よって [A, B] の元は
Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#群論入門_正規部分群編 45

Q.
#群 G のある元a, b, tについて
t^{-1} [ a, b ] t
＝[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]
↑
どういう意味?

A.
「#交換子 の #共役元 は
共役元の交換子である」.

t^{-1}とtではさむ #共役変換 が
交換子の記号の内側に入り込み
2元a,bにそれぞれはたらくように見える.