#群論入門_正規部分群編 53

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)を
G内の
「#交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」と解釈する場合
#交換子群列
G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳…
の意味は

A.
Gの非可換性の強さがD_1(G).
D_1(G)の非可換性の強さがD_2(G).
D_i(G)の非可換性の強さがD_{i+1}(G). …

#群論入門_正規部分群編 50

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)
という集合の大きさの意味

A.
Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}.

D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時
Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは
「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」を表す
と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 42

#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.

・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.

#群論入門_正規部分群編 31

Q.
#群 Gの2つの元a,bの
#交換子 とは…
1) 定義
2) 何に役立つか

A.
1)
演算結果
a^{-1} b^{-1} a b ∈ G
のこと.
[a, b] と書く.

2)
[a, b] = e (#単位元)
である事と
a,bが #可換 である事は同値.

a^{-1} b^{-1} a b＝e
⇔
ab＝ba
2元に #交換法則 が成立.

#群論入門_正規部分群編 17

Q.
#アーベル群 Gの
#部分群 Nは，
Gの #正規部分群 でもある事を示せ

A.
Nの元nの
Gの元gによる #共役変換 は
f(n)
=g^{-1} n g
GとNは #二項演算 が共通で
nはGの元でもあり
G内とN内で #交換法則 が成立するので
=g^{-1} g n
=n ∈N

∴NはGの正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 10

Q.
#群 Gが #アーベル群 なら
G内の #共役変換 は
どんな意味を持つか.

A.
Gの2要素x, aに対し
x の共役変換は
f(x)
＝ a^{-1} x a
G内の任意の2元に
#交換法則 が成り立つので
＝ a^{-1} a x
＝ x

つまり，可換群では
任意の共役変換は #恒等変換.

#巡回群とは 6

Q.
#巡回群 は
#アーベル群 である事を示せ.

A.
#群 Gが
aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば
Gの任意の2元x,yは
x＝a^m
y＝a^n
という #べき の形である.(m,n∈ℤ)
xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n}
yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy
なので，#交換法則 が成り立つ.

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 40

Q.
#加法群 の満たす4公理

A.
加法の定義された集合Gで

1 #結合法則
任意の3元につき
(a+b)+c＝a+(b+c)

2 #零元 の存在
任意の元xにつき
x+0＝0+x＝x
なる0が存在

3 #逆元 の存在
各元aにつき
a+(-a)＝(-a)+a＝0
なる-aが存在

4 #交換法則
任意の2元につき
a+b＝b+a

#群論の初歩 38

Q.
#群 Gの任意の元 x に対し
x^2 = e
ならば，
Gは #アーベル群 である事を示せ.

A.
x^2 = e
両辺に右から x^{-1} をかけて
x (x x^{-1}) = x^{-1}
x＝x^{-1}

よって，Gの任意の2元に対し
ab
＝(ab)
＝(ab)^(-1)
＝b^(-1) a^(-1)
＝ba
#交換法則 が成り立ちアーベル群.

#群論の初歩 37

Q.
0を除く有理数の集合 ℚ^* から
#アーベル群 G を構成せよ

A.
演算として乗法(掛け算)を用いる.
#単位元 として 1 を用いる.
元 x の #逆元 は 1/x .

演算の #結合法則
単位元の存在
逆元の存在
を満たすのでGは #群.

また #交換法則 を満たすので
Gはアーベル群.

#群論の初歩 35

Q.
#アーベル群 とは

A.
#群 Gは
・ #結合法則
・ #単位元 の存在
・ #逆元 の存在
という群の3公理を満たすが

それに加え4つ目の条件として
・ #交換法則
を満たす場合，
Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 33

Q.
2つのベクトルに対する
#二項演算 として
#内積 および #外積 を考える時，
各々 #交換法則 を満たすか?

A.
内積の場合，
↑A・↑B
=
↑B・↑A
より交換法則が成り立つ.

外積の場合，
#歪対称性(反交換則)より
↑A×↑B
=
－↑B×↑A
となるので交換法則は成り立たない.

#群論の初歩 32

Q.
#交換法則 を満たさないが
#結合法則 を満たすような
#二項演算 の例として
行列の積がある.

では逆に
交換法則を満たすが
結合法則を満たさない二項演算の例は?

A.
二項演算を a⊕b ＝ |a－b| と定めれば
|a－b| ＝ |b－a| かつ
一般に||a－b|－c| ≠ |a－|b－c||

#群論の初歩 31

Q.
下記の #二項演算 は
#交換法則 と
#結合法則 を満たすか?

(1)実数の乗法
(2)実数の減法
(3)実数のべき乗
(4)#行列 の積

A.
(1) 交換法則も結合法則も満たす
(2)(3) 交換法則も結合法則も満たさない
(4) 交換法則を満たさないが結合法則を満たす

#群論の初歩 30

Q.
#結合法則 と
#交換法則 って
ある面，似ている?

A.
全く別物だが
日本語で説明しようとすると
じゃっかん似ている部分も…

・結合法則:
「演算 "の結合" の順序」を入れ換え可能.
((ab)c)＝(a(bc))

・交換法則:
「演算 "の対象" の順序」を入れ換え可能.
ab＝ba

#群論の初歩 29

Q.
#二項演算 の #交換法則 とは

A.
集合Gの任意の2元a, bについて
ab ＝ ba
が成り立つ時，
交換法則を満たすという.

2元が交換可能という事は
帰納的に，任意のn元も
順序を交換可能.

掛け算や足し算のように
演算の順序を入れ替えても
結果は変わらないということ.

#群論の初歩 1
↑
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#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)