#巡回群とは 34

Q.
#加法群 G の
ある1つの元 a について
a が #生成 する #巡回部分群 は.

A.
加法群の場合，演算の #べき は
a^1＝a
a^2＝a＋a ＝ 2a
a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma
a^{-m}＝ －ma
と表せて
H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ }
Hは
(一般に)#無限群 かつ
#巡回群 かつ
Gの #部分群.

#代数系の初歩 4

Q.
#代数学 において
#二項演算 とは何か.

A.
ある集合 G の
2つの元 x, y を引数にとって，
新たな1つの元 z を生み出す操作のこと.

#群 の2元に関する演算 xy
#加法群 の2元に関する演算 x＋y
などは二項演算である.

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 86

英語名称のおさらい・続

#加法群 additive group
#乗法群 multiplicative group
#加群 module

#部分群 subgroup
#自明な部分群 trivial subgroup
#真部分群 proper subgroup

#古典群 classical groups
#行列群 matrix group

＜#代数学の参考書＞

「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988)

p6より引用:
『#加法群(additive group)と
#加群(module)は，
#欧語 では対応する語の
ニュアンスが少し違っている。
加群という言葉は，
他の #代数系 と組み合わされ
#G加群 とか
#D加群 という形で
もっぱら使用される。』

#群論の初歩 54

Q.
(1)
n 次 #正方行列 全体の集合Mは
加法について #群 をなす.

(2)
n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は
行列の積について群(#一般線形群)をなす.

(1)(2)は各々,可換群か?

A.
(1)の加法は可換ゆえ
#アーベル群 および #加法群.

(2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 45

Q.
各々，通常の加法について
#加法群 であるか?

(1) すべての整数 ℤ
(2) すべての有理数 ℚ
(3) あるベクトル空間における全ベクトルの集合
(4) 負でない整数の全体

A.
(1)～(3)は
加法群の4公理を満たし加法群をなす.
(4)は #逆元 が存在しないので加法群でない.

#群論の初歩 44

Q.
朝倉書店, 1988 堀田
「加群十話 ― 代数学入門(すうがくぶっくす)」
https://www.amazon.co.jp/dp/42...
↑
タイトルに「加群」とあるが
#加法群(additive group)の事なのか？

A.
その本は，
「#代数学 の中心は #環論 で，
とくに "環上の #加群(module)" が重要」
という内容.

#群論の初歩 43

Q.
「#加群」という語は何に使われるか

A.

加群(module)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・環上の加群(R-module)
　・アーベル群(abelian group)
・リー環上の加群(g-module)
・群上の加群(G-module)
・D加群
・微分加群

#加法群(additive group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

#群論の初歩 42

Q.
「#加法群」を
「#加群」と呼んでいるケースはあるのか？

A.
下記の古い書籍では
加法群を「加群」と表記している。

1967年・朝倉書店「群論の基礎」
https://www.amazon.co.jp/dp/B0...

あまりよくない例であって，
加群とは呼ばず
加法群としたほうがよい。

#群論の初歩 41

#加法群 (英 additive group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ 群演算を，ある意味で
加法と考えることのできる #群.

・通常は #アーベル群.

・ #二項演算 を
記号 + を使って書くのが一般的.

※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する

#群論の初歩 40

Q.
#加法群 の満たす4公理

A.
加法の定義された集合Gで

1 #結合法則
任意の3元につき
(a+b)+c＝a+(b+c)

2 #零元 の存在
任意の元xにつき
x+0＝0+x＝x
なる0が存在

3 #逆元 の存在
各元aにつき
a+(-a)＝(-a)+a＝0
なる-aが存在

4 #交換法則
任意の2元につき
a+b＝b+a

#群論の初歩 39

Q.
#加法群 とは.

A.
「#アーベル群 の演算を
加法(＋)の形で表記したもの」を
一般に加法群と呼ぶ.

加法群の #単位元 を
#零元 と呼び，
通常は 0 と書く.

加法群の元 a の #逆元 を -a と書く.
a＋(-b) を a-b と書く.

※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 36

#アーベル群(abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #可換群(commutative group).

・抽象代数学の各種概念で基礎となる
加法に関する群(#加法群)として
しばしば生じる.

・任意のアーベル群を表記する際
しばしば加法的な記法(+)を使う.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
29

#有理数体 の #加法群 と #乗法群
https://www.youtube.com/watch?...

#群論 #体論
#代数 #代数学

#群論の初歩 1
↑
このタグでは
#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)