#群論の知識

#指標群 (character group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #指標 全体の集合がなす #群 が指標群.
・ #有限アーベル群 G の指標全体の集合は
やはり有限アーベル群で，指標群である.

#群論の知識

(#群論 での) #指標 (character)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

①#群 Gから複素数体の乗法群への
#群準同型 を指す.
群G上の乗法的指標，Gの #指標群.

②#ベクトル空間 上の
群Gの #表現 の
#トレース を指す.

#群論の知識

#指標理論 (character theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・群の #表現 の #指標(character):
#群 の各元に
対応する #行列 の
#トレース を対応させる #写像.
指標は，表現の
本質的な情報を凝縮された形で持つ.

・指標理論は
#有限単純群 の分類において本質的な道具.

#群論の知識

#類関数(class function)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・中心函数(central function)，中心的な関数とも

・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で)
値が不変となる関数.
#群 G の任意の元s,tに対し
f( s^{-1} t s)＝f(t)

・複素数値の類函数は
#コンパクト群 の #表現論 で重要

#群論の知識

「#群 の #表現論 といっても
#ジョルダン標準形 の話と
ある意味で同じである。

本書第3章の趣旨は，
ジョルダン標準形の理論は
K[T] #加群 の分類に等しい
という事であった。

すなわちそれは，
#モノイド N_0 の表現論なのである。」

(朝倉書店「加群十話」より)

#群論の知識

「#表現論 は，
Gが #無限群 のときは
#リー群 や代数群の連続表現を除いて，
ほとんど手がついていないほど難しい。

また #有限群 の場合でも，
#体 Kの #標数 が0でないときは
なかなかの困難を見せており…」

(朝倉書店「加群十話」1988年)

#群論の知識

#大直交性定理 (Schur orthogonality relations)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 G の #既約表現 α の
#ユニタリ表現 行列 D^(α) の
行列要素 D^(α)_ij (G) について
その間に成り立つ直交関係のこと.

#シューアの補題 から導かれる.

#群論の知識

#シューアの補題 (Schur's lemma)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#群 の #表現論 で基本的かつ有用な定理.

下記ページの説明が簡潔.
https://ja.wikibooks.org/wiki/...

Schurの補題:
φ : G → GL(V)
ψ : G → GL(W)
を #既約表現 とすると，
G #準同型
f: V → W
は零写像か #同型 写像.

#群論の知識

#既約表現 (きやくひょうげん)
irreducible representation; irrep
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 などの表現論において
#表現 ρ:G→GL(V)が #既約 とは
自明でない部分表現を持たないことをいう.

真の非自明な不変部分空間を持つ表現ρは
#可約(reducible)という.

#群論の知識

群の #表現 / #既約表現
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

Gを #群，Tを #線形変換 とし
{ T(g) | g∈G } で不変な
#表現空間 V ≠ {0} の #部分空間 が
Vと {0} の2つ以外に存在しないとき，
表現 (V, T) は #既約 であるという.

既約でない表現を #可約 という.

#群論の知識

#忠実 表現 (faithful representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 G の異なる元 g が
異なる #線形写像 ρ(g) によって #表現 される
線型表現のこと.

・ #群準同型 が #単射 であるということ.

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論の知識

群の #表現 (group representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・抽象的な #群 Gの元gに対し
具体的な #線形空間 Vの
#正則 な #線形変換 としての実現を与える
#準同型写像 π: G→GL(V) のこと.

・群Gから
線形空間V上の正則な線形変換のつくる群への
準同型写像.

#群論の知識

#表現論 (representation theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#ベクトル空間 の線形変換」として
#代数的構造 を #表現 することで，
代数構造上の #加群 を研究する分野.

抽象的な代数的構造の元と演算を
#行列 と行列の和や行列の積で記述し，
より具体的にする.

#群論の知識

Q.
数学において一般的に
#表現 とは

A.
表現 (representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「ある体系に対して
それを類型的に書き表すことのできる
数理モデルを構成すること」
またはそのモデルそのもの.

例:
・ #線形写像 の #行列 による表現
・ #群 の #置換 による表現

#群論の知識

#作用 を持つ #群(group with operators)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

名称:
・集合Ωの作用を持つ群
・Ω-群
・ #作用域 Ωを持つ群

Ω:
作用域(operator domain)

作用域Ωの元:
G上の #作用素(operator)，
Gの #相似変換(homotheties)

※「群作用を持つ集合」とは別物なので注意.

#群論の知識

集合論で #選択公理 を仮定すれば，
有限集合・無限集合を問わず
任意の集合に #群 構造を入れることができる.

Group structure and the axiom of choice
https://en.wikipedia.org/wiki/...

http://alg-d.com/math/ac/gp.ht...
選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる

#群論の知識

Q.
群が #完全可約 であるとは.

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 G が
有限個の #単純群 の #直積 に
分解可能である場合，
Gは
完全可約(completely reducible)または
#半単純(semisimple)であるという.

#群論の知識

#有限生成アーベル群 の基本定理
(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

2通りの表記の仕方があり，互いに同値である.
①#準素分解
②#不変因子分解

#群論の知識

#有限生成アーベル群
(finitely generated abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #有限生成 な #アーベル群.

・有限生成アーベル群 G の
任意の元 x は，
#生成元 たちの
整数係数 線形結合として書くことができる.