#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
143

#群論：#有限生成アーベル群 の #直和分解
https://www.youtube.com/watch?...

#直和 #アーベル群
#代数 #代数学

#群論入門_正規部分群編 56

Q.
「#交換子群＝非可換性の強さ」
と捉えると
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
の意味は?

A.
#可解群 の交換子群列の末尾は
…⊳D_{n-1}(G)⊳{e}
D_{n-1}(G)の交換子群が{e}なので
D_{n-1}(G)は #アーベル群.
つまり，列の末尾で非可換性が消える.

#群論入門_正規部分群編 50

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)
という集合の大きさの意味

A.
Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}.

D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時
Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは
「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」を表す
と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 34

Q.
(1)
#群 G内の #交換子 が #単位元 eのみ.

(2)
Gが #アーベル群.

(1)⇔(2)を示せ

A.
(1)の時
Gの任意の2元a,bに対し
[a,b]＝a^{-1}b^{-1}ab＝e
→ab＝ba
となりGはアーベル群.

逆に(2)の時
Gの任意の2元a,bに対し
ab＝ba
→a^{-1}b^{-1}ab＝e
∴[a,b]＝e

#群論入門_正規部分群編 17

Q.
#アーベル群 Gの
#部分群 Nは，
Gの #正規部分群 でもある事を示せ

A.
Nの元nの
Gの元gによる #共役変換 は
f(n)
=g^{-1} n g
GとNは #二項演算 が共通で
nはGの元でもあり
G内とN内で #交換法則 が成立するので
=g^{-1} g n
=n ∈N

∴NはGの正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 10

Q.
#群 Gが #アーベル群 なら
G内の #共役変換 は
どんな意味を持つか.

A.
Gの2要素x, aに対し
x の共役変換は
f(x)
＝ a^{-1} x a
G内の任意の2元に
#交換法則 が成り立つので
＝ a^{-1} a x
＝ x

つまり，可換群では
任意の共役変換は #恒等変換.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
89

#群論：#有限アーベル群 の #冪写像
https://www.youtube.com/watch?...

#写像 #アーベル群
#代数 #代数学

#群論の知識

#有限生成アーベル群
(finitely generated abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #有限生成 な #アーベル群.

・有限生成アーベル群 G の
任意の元 x は，
#生成元 たちの
整数係数 線形結合として書くことができる.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p40より:
『#ノールウェー の #数学者
#アーベル(1802-1829)は
#5次 の一般の #代数方程式 を
#根号 により解くことが
#不可能 である事を #証明 した.
彼の代数方程式の #論文 で，
現在 #アーベル群 と呼ばれる
概念が用いられた.』

#群論の知識

#有限アーベル群 (finite abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#有限群 かつ #アーベル群.
#有限生成アーベル群 の特別な場合.

さまざまな応用がある:
・調和解析
・合同算術
・ #ガロア理論
・情報理論

#群論の知識

自由アーベル群 (free abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #基底 をもった #アーベル群 のこと.
・ #ベクトル空間 とよく似ている.

#巡回群とは 6

Q.
#巡回群 は
#アーベル群 である事を示せ.

A.
#群 Gが
aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば
Gの任意の2元x,yは
x＝a^m
y＝a^n
という #べき の形である.(m,n∈ℤ)
xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n}
yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy
なので，#交換法則 が成り立つ.

＜#代数学の参考書＞

「連続群論(上)」
(岩波書店1957ポントリャーギン)

序論より:
『#位相群 の研究のための
主要な手段は
#線型表現 の理論であって
第5章ではこれについて述べる。
この理論を用いる事により
#コンパクト群 及び
#アーベル群 の #構造 が
詳しく研究されるのである。』

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 85

英語名称のおさらい

#群 group
#公理 axiom

#単位元 identity element
#逆元 inverse element

#結合法則 associative law
#結合律 associative property, associativity

#アーベル群 abelian group
#可換群 commutative group

#群論の初歩 69

Q.
X－{0} は
Xから0という要素を除いた集合を表す.

① ℤ－{0}
② ℚ－{0}
③ ℝ－{0}
④ ℂ－{0}
この4つの集合について
#部分群 の関係を作れるか？

A.
#二項演算 として #積 を考えると
②③④は #アーベル群.
①は #逆元 が無く #群 になれない.

∴
②≤③≤④

#群論の初歩 68

Q.
ℤ 整数全体の集合
ℚ 有理数全体の集合
ℝ 実数全体の集合
ℂ 複素数全体の集合

この4つの集合について
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
これら4つはいずれも #アーベル群 となる.

部分群の関係を G≥H のように表記すると
ℤ≤ℚ≤ℝ≤ℂ

#群論の初歩 54

Q.
(1)
n 次 #正方行列 全体の集合Mは
加法について #群 をなす.

(2)
n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は
行列の積について群(#一般線形群)をなす.

(1)(2)は各々,可換群か?

A.
(1)の加法は可換ゆえ
#アーベル群 および #加法群.

(2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.