#群論の知識

「#表現論 は，
Gが #無限群 のときは
#リー群 や代数群の連続表現を除いて，
ほとんど手がついていないほど難しい。

また #有限群 の場合でも，
#体 Kの #標数 が0でないときは
なかなかの困難を見せており…」

(朝倉書店「加群十話」1988年)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
129

#群論：#有限群 の #巡回性
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(2015江口・菅原)

前書きより:
『#共形代数 の #表現論 と
#保型形式 の理論，
そして
巨大な #位数 を持った
#有限群 との間の
#ミステリアス な関係である
#ムーンシャイン と呼ばれる現象に
新しい #発展 があり，
本書の最後の部分で紹介したい.』

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論入門_正規部分群編 39

2つの #交換子 の積が
交換子とならない
最小位数の #有限群 は #位数 96.

その証明論文:
Commutators and Commutator Subgroups
ROBERT M. GURALNICK (1982)
https://core.ac.uk/download/pd...
"Here it is shown that the smallest groups G
... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 37

交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.

2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」

#群論入門_正規部分群編 29

#有限群 のページに
「有限群は必ず組成列を持つ」との記載：
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

"「有限 #単純群 の完全な分類」
という目標は達成された。
つまり
任意の有限群の「組み立て部品」は
現在では完全に知られている。
(任意の有限群は #組成列 を持つ)"

#巡回群とは 68

有限生成群 (finitely generated group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・有限部分集合 S を #生成系 とする #群 G のこと.

・任意の #有限群 G は #有限生成 である.

・しかし，有限生成群の #部分群 は
必ずしも有限生成とは限らない.

#巡回群とは 37

Q.
ここまで出てきた「#位数」の定義を整理
①#有限群 Gの位数
②#巡回群 ‹a› の元 x の位数
③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数

A.
①
群Gに属する異なる元の個数.

②
x^n=eとなる最小の自然数n.

③
aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36

Q.
「#巡回群 の元の #位数」は定義済.
では
巡回群とは限らない一般の #群 Gの
元aの位数とは.

A.
aが #生成 する #巡回部分群
‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …}
が位数nの #有限群 なら
元aの位数はnとする.

→巡回群でない一般の群も
元の位数を定義可能

#群論の知識

#有限アーベル群 (finite abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#有限群 かつ #アーベル群.
#有限生成アーベル群 の特別な場合.

さまざまな応用がある:
・調和解析
・合同算術
・ #ガロア理論
・情報理論

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数 原著第2版」(ジョージァイ2010)

『#有限群，特に
#対称群(#置換群)の
#表現 と応用の部分は
殆ど新たな #書き下ろし.
#Dynkin係数 を用いた
表現の具体的構成法や
#例外群 E_6の表現，
それに基づく #統一理論 も
詳しい解説を #書き加え…』

#巡回群とは 18

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1)#群 G の #位数 は？
(2) i の位数は？

A.
(1)
#有限群 で要素数が4なので
|G|＝4

(2)
iはGの生成元だから
ord(i)＝|G|＝4.
またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので
やはりord(i)＝4.

#巡回群とは 9

①「#群 G の 位数 |G| 」
②「#巡回群 ‹a› の #生成元 a の位数」
という
2種類の「#位数」の定義を学んだ.

①と②の間に
関連はあるのだろうか？

実は，巡回群が #有限群 の場合
②の値が n ならば
①の値も n である.

次ツイからその事を証明してゆこう.

#巡回群とは 7

Q.
#巡回群 G の
#生成元 が a であるとき，
a の #位数 とは.

A.
G が #有限群 の場合，
e を #単位元 とし
a^m ＝ e を満たす
最小の自然数 m が存在し
その m を
「元 a の位数」と呼ぶ.

＜#代数学の参考書＞

「群とその表現」(共立出版1967服部)
https://amazon.co.jp/dp/B000JA...

前書きより:
『#有限群 の #表現論 としては
本書に述べた通常表現論のほかに，
Brauerを中心として建設されている
modular表現論が大きな領域をなしている.
また近年は #整数表現 に関する領域が研究…』

#群論の知識

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#シローの定理 その2:

「素数 p を固定した時，
#有限群 G の全てのシロー p-部分群は
互いに #共役 である
(G内の #共役変換 を通して #同型 である).」

H と K が
#群 G のシロー p-部分群であれば，
g^{-1}Hg＝K なる G の元 g が存在.

＜#代数学の参考書＞

共立数学講座18「群とその表現」
https://www.amazon.co.jp/dp/B0...

・出版年: 1967年
・出版社: 共立出版
・著者: 服部昭

『本書のテーマは #群 とその表現で
特に #表現論 の解説を主眼としている.
対象を #有限群 の通常表現に絞り
#群環 の媒介を重んずる扱い方で述べた.』

#群論の知識

#シローの定理 (Sylow theorems)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

その1:
「#有限群 G の #位数 が
素因数 p を重複度 n で約数として持てば，
位数 p^n の G のシロー p-部分群が存在する.」

これは #コーシーの定理 よりも強い.

#群論の知識

(#群論 の) #コーシーの定理
Cauchy's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#有限群 G の #位数 |G| が
素数 p の倍数であれば，
G は #位数 p の元を含む.」

1845年に #コーシー が証明.