#代数学の知識

#分離拡大 (separable extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #体 の #代数拡大 E⊃Fで
全てのα∈Eに対し
αのF上 #最小多項式 が
#分離多項式 である(相異なる根をもつ)ようなもの.

・有限次体 #拡大 が
#ガロア拡大 である事と
#正規拡大 かつ #分離拡大 である事は同値.

#代数学の知識

#正規拡大 (normal extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#体 の #代数拡大 L/K について，
「L に根を持つような
K[X] の全ての #既約多項式 が
L に根をすべて持つ」時
(L[X] において一次式に分解する時)
#拡大 L/K は正規拡大であるという.

#代数学の知識

#量子群 (quantum group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・付加構造を持った
様々な種類の非可換代数(一般に #ホップ代数)を指す.
・量子 #可積分系 で出現した用語.

#代数学の知識

#代数拡大 (algebraic extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#体 の #拡大 L/K について
「L の全ての元が K 上 #代数的」…★
であれば，
拡大 L/K を代数拡大という.

★は
「L の全ての元が
K 係数の
ある0でない多項式の根である」ということ.

#代数学の知識

#体 の #拡大 (field extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#可換体 の組 K, k が与えられた時
体の拡大 K/k とは，
k が K に集合として含まれ，
k の体構造が
K の体構造の制限として得られる構造に
一致していることをいう.

#代数学の知識

#ガロア拡大 (Galois extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #体 の #代数拡大 E/F であって
#正規拡大 かつ
#分離拡大 であるもののこと.

・E/F がガロア拡大であるなら
(#拡大 E/F の #ガロア群)＝Aut(E/F)＝Gal(E/F)

#代数学の知識

#ホップ代数 (Hopf algebra)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#代数トポロジー の研究から生まれた概念.
ドイツの数学者Heinz Hopfにちなんだ名称.

積の双対概念として #余積 などの構造をもつ.
#群 や #リー代数 をまとめて扱うことができる.

ホップ代数の重要な例が #量子群.

#代数学の知識

#ガロア群 (Galois Group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・代数方程式または #体 の #拡大 から
定義される #群 のこと.

・ガロア群を使って数学的対象を研究することを
#ガロア理論 という.

#代数学の知識

#ガロア理論 (Galois theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・代数方程式や #体 の構造を，
#ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。

・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった
群や体の考えを方程式の研究に用いていた。

#代数学の知識

アーベル-ルフィニの定理
Abel–Ruffini theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・5次以上の代数方程式には
#解の公式 が存在しない
(一般に代数的に解けない)と主張する定理

・ #アーベル，ルフィニらには
#群 という意識がまだ存在しておらず
技巧的な証明に留まっていた

#代数学のbot連ツイのタグ その2

▶環論
①#環論の初歩
②#環論の知識
③#加群の知識
④#GröbnerBasis

▶体論その他，抽象代数学全般
#体論の初歩(※建設中)
#代数学の知識
#代数学の参考書

▶線形代数
#たった10ツイートでわかる線形代数

#代数学の知識

#ブラウアー群(Brauer group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#体 K のブラウアー群 Br(K) は
体 K 上の #中心的単純環 の
#森田同値類(#多元環類，ブラウアー類)
を元とする #アーベル群 で
その演算は #多元環 の #テンソル積 から誘導される.

#代数学の知識

#類体論 (class field theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#代数的整数論 の一大分野であり，
#有限体 上の曲線の函数体や数体の
#アーベル拡大 について，
およびそのようなアーベル拡大に関する
#数論 的性質について研究する.

理論の対象となる #体 は #大域体.

#代数学の知識

#類体論 (class field theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#代数的整数論 の一大分野であり，
#有限体 上の曲線の函数体や数体の
#アーベル拡大 について，
およびそのようなアーベル拡大に関する
#数論 的性質について研究する.

理論の対象となる #体 は #大域体.

#代数学の知識

#イデアル類群(ideal class group)，
#類群(class group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#体 K の #分数イデアル の #群 I_k と
Kの #単項イデアル からなる #部分群 P_K に対し
#商群 I_K / P_K のことを
体 K のイデアル類群または類群と呼ぶ.