#群論の初歩 82

#行列 の積に関する #群 一覧：

(1) おもに実数成分の場合

▶GL(n) #一般線形群
#正則行列

▶SL(n) #特殊線形群
#行列式=1

▶O(n) #直交群
実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列)
(行列式=±1)

▶SO(n) #特殊直交群(#回転群)
直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 79

ユニタリ行列 (unitary matrix)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

U^* U = U U^* = E
を満たす複素 #正方行列 U は
#ユニタリ行列.
※U^* は U の #随伴行列 (U^* = (U̅)^T)

・ #直交行列 を
複素数体へ拡張したものがユニタリ行列.
実ユニタリ行列は直交行列に等しい.

#群論の初歩 75

#回転群(rotation group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#特殊直交群(Special Orthogonal group). SO(n)

n×nの #直交行列 で
#行列式 が+1のもの全体が
乗法に関しなす #群.

物理学では
SO(3)＝空間回転のつくる群
の #表現論 が
原子・分子，原子核，素粒子，分光学で重要

#群論の初歩 74

直交群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #直交群 とは
元がn×nの実 #直交行列 で
群の積が行列の積によって与えられるもの.

・直交行列の #行列式 は ±1

・O(n) の重要な #部分群 である
#特殊直交群 SO(n) は
行列式が+1である直交行列からなり
#回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 73

Q.
O(n)上で
行列の積という #二項演算 が
#閉じている ことを示せ

A.
#直交行列 の積が
直交行列であることを示す.

直交行列A,Bについて
#転置 の性質より
(AB)^t ＝ B^t A^t

(AB)(AB)^t
=A(B B^t) A^t
=A E A^t
=A A^t
=E
同様に
(AB)^t (AB)＝E

∴ABは直交行列

#群論の初歩 72

Q.
#代数学 において
O(n) は何を表すか

A.
n 次の #直交群 (Orthogonal group)を表す.
実 #直交行列 の全体である.

O(n) ＝ { A∈GL(n, R) | A A^t ＝E }

なお直交行列とは，
#逆行列 が #転置行列 A^{-1} ＝ A^t
で与えられるような #行列 を指す.