#群論の初歩 84

SL, SO, SU などは
#行列群 の中でも特に
#古典群 と呼ばれる.

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・行列群(matrix group): #正則行列 からなる.
・線型群(linear group): 体K上の #行列 群に同型な抽象群.

古典群(The classical groups)の一覧表
https://en.wikipedia.org/wiki/...
.

#群論の初歩 82

#行列 の積に関する #群 一覧：

(1) おもに実数成分の場合

▶GL(n) #一般線形群
#正則行列

▶SL(n) #特殊線形群
#行列式=1

▶O(n) #直交群
実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列)
(行列式=±1)

▶SO(n) #特殊直交群(#回転群)
直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 81

Q.
SL(n,C) や U(n) が
GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか

A.
n 次 #正方行列 のうち
GL(n,C): #正則行列 全体
SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体
U(n): #ユニタリ行列 全体

いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で
SLはGLの部分集合
UはGLの部分集合.

#群論の初歩 55

Q.
n次 #正則行列 全体GL(n)は
#行列 の和について #群 か?

A.
加法の #単位元 は #零行列 Oで
#正則 ではない.
GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので
群ではない.

またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが
A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ
#二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 54

Q.
(1)
n 次 #正方行列 全体の集合Mは
加法について #群 をなす.

(2)
n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は
行列の積について群(#一般線形群)をなす.

(1)(2)は各々,可換群か?

A.
(1)の加法は可換ゆえ
#アーベル群 および #加法群.

(2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 53

一般線形群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・n 次正方行列全体のうち
「#正則行列 全体が
行列の積に関してなす群」を
#一般線形群 という.
GL_n ( F ) または GL( n, F ) と表す.

・ #行列式 がゼロでない #行列 全体
と言い換えてもよい.

#群論の初歩 51

Q.
GL(n,V) 上で
行列の積という #二項演算 が
#閉じている ことを示せ

A.
#正則行列 A, Bの積 AB＝M が
#正則 である事を示す.

Mに左から
M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると
M'M＝E
Mに右から M' をかけると
MM'＝E

∴E＝M'M＝MM' で
M の逆行列は M' だから M は正則

#群論の初歩 50

Q.
#一般線形群 とは

A.
n次の #正則行列 全体の集合で
・有理数を成分とするもの: GL( n, ℚ )
・実数を成分とするもの: GL( n, ℝ )
・複素数を成分とするもの: GL( n, ℂ )
がそれぞれなす集合

この3つをあわせて
n次の一般線形群(General Linear group)
と呼ぶ.