#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop

#代数系の初歩 27

Q.
マグマから群まで
1つずつ条件を増やせ

A.
結合法則を最初に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#半群: 閉 結
#モノイド: 閉 結 単
　　　#群: 閉 結 単 逆

結合法則を最後に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#準群: 閉 　 　 除
　　#擬群: 閉 　 単 逆
　　　#群: 閉 結 単 逆

#代数系の初歩 25

#準群(Quasigroup, quasi-group)
https://en.wikipedia.org/wiki/...

・空でない #マグマ で，除法が常にできるもの.
("division" is always possible)
「逆マグマ」とも呼ぶ

・結合法則は課されない(not necessarily associative)

・単位元を持てば「ループ(#擬群)」と呼ぶ

#代数系の初歩 22

Q.
#準群 がもつ「除法」とは.

A.
#マグマ Ｑの任意の2元 a, b について
ax＝b をみたすxと
ya＝b をみたすyが存在する時，
Qを準群と呼ぶ.

つまり，ある1つの元aに
左または右から
何か(xやy)を作用させることで，
必ずQ内の他の元bに作り替えられる
ということ.

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 16

Q.
マグマ
半群
モノイド
群
を順に定義

A.
集合が #内算法 を持てば
#マグマ

マグマに #結合法則 を課すと
#半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ)

半群に #単位元 の存在を課すと
#モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ)

モノイドに #逆元 の存在を課すと
#群

#代数系の初歩 10

#マグマ (数学) 英:magma
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる.
ただしこれとは別に，
#圏論 に「亜群」という用語があるので
混同してはならない.

・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し
それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 9

Q.
#代数学 において
#マグマ とは.

A.
ある集合Mにおいて
「#閉じている 二項演算」(#内算法)
が定義されていれば，
Mをマグマと呼ぶ.
(※ #ブルバキ が導入した呼び名)

その #二項演算 は
#結合法則 を満たす必要はなく，
#単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#代数系の初歩 1
↑
このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

#群論の初歩 3

Q.
#群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ

A.
演算の定義された集合において
1. #結合法則
2. #単位元 の存在
3. #逆元 の存在
が満たされていること.

※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は
群の3公理に含めない.
それは群以前に #マグマ の性質なので.