#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

#代数系の初歩 26

Q.
#擬群 とは.

A.
#準群 に #単位元 e の存在を課したもの.

除法と単位元の存在より，
任意の元が #逆元 を持つことになる.

#擬群(loop)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
・別名「ループ」.
・ #結合法則 は課されない.

#代数系の初歩 24

Q.
#準群 と
#群 を比較せよ.

A.
共通した性質:
・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ)

群の場合:
・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす.

準群の場合:
・単位元や結合法則は要請されない.
・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 16

Q.
マグマ
半群
モノイド
群
を順に定義

A.
集合が #内算法 を持てば
#マグマ

マグマに #結合法則 を課すと
#半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ)

半群に #単位元 の存在を課すと
#モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ)

モノイドに #逆元 の存在を課すと
#群

#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14

#モノイド(monoid)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・単系(たんけい)とも呼ぶ.

・1つの #二項演算 と
#単位元 をもつ #代数的構造 であり，
#結合法則 を満たす.

・モノイドは
「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」)
なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 12

#結合法則(associative law)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

結合性(associative property, associativity):
結合律，結合則.

一部の #二項演算 が持つ性質.
被演算子の並びが変わらない限り
全体の演算結果に影響を与えない.

#群，#モノイド，#半群 の公理の一つ.

#代数系の初歩 11

Q.
#半群，#モノイド とは.

A.
#群 の #公理 のうち
#結合法則 を満たすものが半群.
#単位元 や
#逆元 の存在は要請しない.

群の公理のうち
結合法則と，
単位元の存在を満たすものがモノイド.
逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 9

Q.
#代数学 において
#マグマ とは.

A.
ある集合Mにおいて
「#閉じている 二項演算」(#内算法)
が定義されていれば，
Mをマグマと呼ぶ.
(※ #ブルバキ が導入した呼び名)

その #二項演算 は
#結合法則 を満たす必要はなく，
#単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 85

英語名称のおさらい

#群 group
#公理 axiom

#単位元 identity element
#逆元 inverse element

#結合法則 associative law
#結合律 associative property, associativity

#アーベル群 abelian group
#可換群 commutative group

#群論の初歩 62

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが
1)∀a,b∈H⇒ab∈H
2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H
の時
Hが群である事を示せ.

A.
1)よりHの二項演算は #閉じている.
Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす.
2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在.
∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 52

Q.
3つの集合
GL( n, ℚ )
GL( n, ℝ )
GL( n, ℂ )
について，おのおの #群 を構成せよ

A.
各々，#行列 の積について群である.

各々は積演算について閉じており
積演算が #結合法則 を満たす.
#単位元 は #単位行列 であり
#逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 40

Q.
#加法群 の満たす4公理

A.
加法の定義された集合Gで

1 #結合法則
任意の3元につき
(a+b)+c＝a+(b+c)

2 #零元 の存在
任意の元xにつき
x+0＝0+x＝x
なる0が存在

3 #逆元 の存在
各元aにつき
a+(-a)＝(-a)+a＝0
なる-aが存在

4 #交換法則
任意の2元につき
a+b＝b+a

#群論の初歩 37

Q.
0を除く有理数の集合 ℚ^* から
#アーベル群 G を構成せよ

A.
演算として乗法(掛け算)を用いる.
#単位元 として 1 を用いる.
元 x の #逆元 は 1/x .

演算の #結合法則
単位元の存在
逆元の存在
を満たすのでGは #群.

また #交換法則 を満たすので
Gはアーベル群.

#群論の初歩 35

Q.
#アーベル群 とは

A.
#群 Gは
・ #結合法則
・ #単位元 の存在
・ #逆元 の存在
という群の3公理を満たすが

それに加え4つ目の条件として
・ #交換法則
を満たす場合，
Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 34

Q.
ベクトルの #外積 は
#結合法則 を満たすか？

A.
#ヤコビの恒等式 より
↑A×(↑B×↑C)
+
↑B×(↑C×A)
+
↑C×(↑A×↑B)
=
0

∴
↑A×(↑B×↑C) ①
=
-↑C×(↑A×↑B)
-↑B×(↑C×A)
=
(↑A×↑B)×↑C ②
+
(↑C×A)×↑B ③

③の項が余分なので，
「①=②」は成り立たない。