#群論入門_剰余類編 41

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.

hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ

A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
140

#群論：巡回 #正規部分群 の #部分群
https://www.youtube.com/watch?...

#巡回群
#代数 #代数学

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理

#群論入門_正規部分群編 50

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)
という集合の大きさの意味

A.
Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}.

D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時
Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは
「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」を表す
と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 48

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子
[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)
[A,B]=‹ [a,b] | a∈A, b∈B ›
⊂ G

③群Gの
交換子群(交換子部分群)，
#導来群(#導来部分群)
D(G)=[ G, G ]
= ‹ [ g_1, g_2 ] | g_1, g_2∈G ›
◅ G

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(岩波書店1996吉川)

各章末に演習問題.
巻末に略解.

前書きより:
『#物性物理学 において
#金属･#結晶理論 に
広く #応用 される
#空間群 に関しては，
本書では詳しく
触れる事はできなかった.
ただその #部分群 である
#格子群 については付録で…』

#群論入門_正規部分群編 43

#特性部分群(characteristic subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

もとの #群 の
全ての #自己同型 写像で
不変な #部分群.

#共役変換 は #内部自己同型写像 なので
全ての特性部分群は #正規部分群.

特性部分群の例:
・群の #中心
・ #交換子群(交換子部分群)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
113

#群論：#p群 の #部分群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論入門_正規部分群編 41

Q.
定義を比較

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)

A.
①
[a,b]
=a^{-1}b^{-1}ab

②
[A,B]
=‹ [a,b] | a∈A, b∈B › ★
=‹ a^{-1}b^{-1}ab | a∈A, b∈B ›
全ての交換子の組合わせの集合が #生成 する群.

#群論入門_正規部分群編 40

Q.
#群 Gの #部分群 A, Bについて
「AとBとの #交換子群」とは.

A.
Aの元aと
Bの元bとの #交換子 [ a, b ] の
全体がなす集合Sについて，
Sが #生成 する(#生成系 となる)ような
G の部分群
‹ [ a, b ] | a∈A, b∈B ›
のこと.
[ A, B ] と表記する.

#群論入門_正規部分群編 38

Q.
#群 の「交換子と交換子の積が
一般に #交換子 になるとは限らない」
の証明は

A.
On commutators in groups
https://www.researchgate.net/p...
"the set of commutators does not necessarily form a subgroup" (交換子全体の集合は #部分群 をなすとは限らない)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
111

#群論：2個の非自明な #部分群 をもつ #群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論入門_正規部分群編 36

Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？

A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.

つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.

よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.

#群論入門_正規部分群編 30

Q.
#組成列 と
#主組成列 の違い

A.
群Gの #部分群 の列が
G＝H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0 ＝ {1}
なる #正規列 かつ組成列である場合
各H_iがGの #正規部分群 である事は要請されない.

各H_iがGの正規部分群なら
この列をGの主組成列(normal series)と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 28

#組成列 composition series
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 などの #代数的構造 を
より単純な構造の #単純群 に分解する.

・組成列は
「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」.
極大とは
「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」
という意.

#群論入門_正規部分群編 25

▶#部分群 について

A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 の時
A_1 ⊃ A_3 である.

つまり，⊃ という #二項関係 は
#推移律 を満たす.(#推移的)

▶#正規部分群 について

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

つまり，⊳ という二項関係は
推移律を満たさない.

#群論入門_正規部分群編 21

Q.
群Gの #正規列 とは

A.
#群 Gの #部分群 の列で
G ＝ H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃ … ⊃ H_n ＝{e}
のように
有限の n において
末尾が #単位群 になるものを考える.

ここで各1≦i≦nにおいて
H_i が
H_{i-1} の #正規部分群 ならば
この列をGの正規列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 17

Q.
#アーベル群 Gの
#部分群 Nは，
Gの #正規部分群 でもある事を示せ

A.
Nの元nの
Gの元gによる #共役変換 は
f(n)
=g^{-1} n g
GとNは #二項演算 が共通で
nはGの元でもあり
G内とN内で #交換法則 が成立するので
=g^{-1} g n
=n ∈N

∴NはGの正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 14

#正規部分群 (normal subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 の任意の元による
#内部自己同型写像(#共役変換)のもとで
不変な #部分群 のこと.

正規部分群の重要性を
最初に明らかにしたのは，
#エヴァリスト・ガロア である.

#群論入門_正規部分群編 12

Q.
#正規部分群 とは.

A.
#群 G の #部分群 N について，
N の任意の元 n が
「G の任意の元 g による #共役変換」の結果
ふたたび N に属する時
N を G の正規部分群と呼び
G⊳N と表記する.

論理記号で表すと
∀n∈N, ∀g∈G, (g^{-1} n g)∈N
⇔
G⊳N.