#巡回群とは 1
↑
このタグでは
#群論の初歩 の内容を前提に
下記を学びますぞ！

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 89

(前ツイから続き)

下記の記号をスマホに単語登録し
代数学関連の数式を
入力・変換しやすくしておこう！

| |　いすう

ℤ　せいすう
ℚ　ゆうりすう
ℝ　じっすう
ℂ　ふくそすう
ℕ　しぜんすう

^*　ずいはん
^T　てんち
^t　てんち
̅　　きょうやく

≠　ことなる

#群論の初歩 88

下記の記号をスマホに単語登録し
数式を入力・変換しやすくしておこう！

^{-1}　ぎゃく
⁻¹　ぎゃく

元として属するか
∈　∋　ぞくする
∉　∌　ぞくさない

ぶぶん (部分群や部分集合として含むか)
≤　<　⊂
≰　≮　⊄
≥　>　⊃
≱　≯　⊅

次ツイに続く

#群論の初歩 87

英語名称の復習・続

GL
#一般線形群 general linear group

SL
#特殊線形群 special linear group

O
#直交群 orthogonal group

SO
#特殊直交群 special orthogonal group
#回転群 rotation group

U
#ユニタリ群 unitary group

SU
#特殊ユニタリ群 special unitary group

#群論の初歩 86

英語名称のおさらい・続

#加法群 additive group
#乗法群 multiplicative group
#加群 module

#部分群 subgroup
#自明な部分群 trivial subgroup
#真部分群 proper subgroup

#古典群 classical groups
#行列群 matrix group

#群論の初歩 85

英語名称のおさらい

#群 group
#公理 axiom

#単位元 identity element
#逆元 inverse element

#結合法則 associative law
#結合律 associative property, associativity

#アーベル群 abelian group
#可換群 commutative group

#群論の初歩 84

SL, SO, SU などは
#行列群 の中でも特に
#古典群 と呼ばれる.

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・行列群(matrix group): #正則行列 からなる.
・線型群(linear group): 体K上の #行列 群に同型な抽象群.

古典群(The classical groups)の一覧表
https://en.wikipedia.org/wiki/...
.

#群論の初歩 83

#行列 の積に関する #群 一覧：

(2) 複素数成分の場合

▶U(n) #ユニタリ群
#ユニタリ行列 (#逆行列 が #随伴行列)

▶SU(n) #特殊ユニタリ群
ユニタリかつ #行列式=1

※参考:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
特殊ユニタリ群は #素粒子物理学 で頻出.

#群論の初歩 82

#行列 の積に関する #群 一覧：

(1) おもに実数成分の場合

▶GL(n) #一般線形群
#正則行列

▶SL(n) #特殊線形群
#行列式=1

▶O(n) #直交群
実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列)
(行列式=±1)

▶SO(n) #特殊直交群(#回転群)
直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 81

Q.
SL(n,C) や U(n) が
GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか

A.
n 次 #正方行列 のうち
GL(n,C): #正則行列 全体
SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体
U(n): #ユニタリ行列 全体

いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で
SLはGLの部分集合
UはGLの部分集合.

#群論の初歩 80

Q.
#代数学 において
SU(n) は何を表すか.

A.
n 次の #特殊ユニタリ群
(special unitary group) を表す.

すなわち
#行列式 が 1 であるような
n 次 #ユニタリ行列 の成す群.

SU(n)＝{ A ∈ GL(n,ℂ) | AA^*＝E, det A＝1 }

#群論の初歩 79

ユニタリ行列 (unitary matrix)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

U^* U = U U^* = E
を満たす複素 #正方行列 U は
#ユニタリ行列.
※U^* は U の #随伴行列 (U^* = (U̅)^T)

・ #直交行列 を
複素数体へ拡張したものがユニタリ行列.
実ユニタリ行列は直交行列に等しい.

#群論の初歩 78

ユニタリ群 (unitary group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ n 次の #ユニタリ群 U(n) とは
n 次 #ユニタリ行列 のなす #群 のこと.

・ユニタリ群 U(n) は
#一般線形群 GL_n の #部分群.

#群論の初歩 77

Q.
#代数学 において
U(n) は何を表すか.

A.
n 次の #ユニタリ群(unitary group)を表す.
n 次 #ユニタリ行列 の成す群.

U(n) ＝ { A ∈ GL( n, ℂ ) | A A^* ＝ E }

なお
Aの #随伴行列(エルミート共役) A^* を，
複素共役を取って転置したものと定める.
A^* ＝ A̅^t

#群論の初歩 76

#特殊直交群 SO(n) が
#直交群 O(n) の
#部分群 である事の証明は，
下記などを参照のこと.

直交群 / 偶数次元における O(n) と SO(n) の違い
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

SO(n)がO(n)の正規部分群であることの証明
https://detail.chiebukuro.yaho...
.

#群論の初歩 75

#回転群(rotation group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#特殊直交群(Special Orthogonal group). SO(n)

n×nの #直交行列 で
#行列式 が+1のもの全体が
乗法に関しなす #群.

物理学では
SO(3)＝空間回転のつくる群
の #表現論 が
原子・分子，原子核，素粒子，分光学で重要

#群論の初歩 74

直交群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #直交群 とは
元がn×nの実 #直交行列 で
群の積が行列の積によって与えられるもの.

・直交行列の #行列式 は ±1

・O(n) の重要な #部分群 である
#特殊直交群 SO(n) は
行列式が+1である直交行列からなり
#回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 73

Q.
O(n)上で
行列の積という #二項演算 が
#閉じている ことを示せ

A.
#直交行列 の積が
直交行列であることを示す.

直交行列A,Bについて
#転置 の性質より
(AB)^t ＝ B^t A^t

(AB)(AB)^t
=A(B B^t) A^t
=A E A^t
=A A^t
=E
同様に
(AB)^t (AB)＝E

∴ABは直交行列

#群論の初歩 72

Q.
#代数学 において
O(n) は何を表すか

A.
n 次の #直交群 (Orthogonal group)を表す.
実 #直交行列 の全体である.

O(n) ＝ { A∈GL(n, R) | A A^t ＝E }

なお直交行列とは，
#逆行列 が #転置行列 A^{-1} ＝ A^t
で与えられるような #行列 を指す.