#群論入門_剰余類編 50

Q.
左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#推移律 を満たす事を示せ

A.
#群 Gの3元a,b,cに対し
x=ab^{-1}∈H
y=bc^{-1}∈H
の時
#二項演算 が群H内で #閉じている ので
xy=(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}∈H
∴
a≡b(mod H), b≡c(mod H)なら
a≡c(mod H)

#群論入門_剰余類編 41

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.

hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ

A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G

#群論入門_正規部分群編 49

短歌にしてみよう.

　交換子　共役変換　した後も
　そのままずっと　交換子だよ

#交換子 は
もとの #群 Gの元で #共役変換 しても
交換子のまま.

ゆえに，#交換子群 H は
もとの群Gの元による共役変換に対し
#閉じている ので
Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 46

Q.
#群 Gの #正規部分群 A, Bに対し，
#交換子群 [A, B] も
Gの正規部分群であることを示せ.

A.
t∈G, a∈A, b∈Bに対し
前ツイより
t^{-1} [a, b] t
=[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B]

よって [A, B] の元は
Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 28

Q.
H を
元 a によって #生成 される
Gの #巡回部分群 とする.
H が G の #部分群 である事を示せ.

A.
前ツイよりHは #群.
また前提より a∈G で
群Gの #二項演算 は #閉じている ので
aの任意の #べき はGに属する.
∴Hの全ての元がGに属し
HはGの部分集合で
HはGの部分群.

#巡回群とは 27

Q.
Hを
元aによって #生成 される
Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする.

Hが #群 である事を示せ.

A.
H の任意の2元に対し
(a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで
#二項演算 が #閉じている.
#単位元 は a^0＝e.
任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在.
よって H は群である.

#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?

#代数系の初歩 10

#マグマ (数学) 英:magma
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる.
ただしこれとは別に，
#圏論 に「亜群」という用語があるので
混同してはならない.

・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し
それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 9

Q.
#代数学 において
#マグマ とは.

A.
ある集合Mにおいて
「#閉じている 二項演算」(#内算法)
が定義されていれば，
Mをマグマと呼ぶ.
(※ #ブルバキ が導入した呼び名)

その #二項演算 は
#結合法則 を満たす必要はなく，
#単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#代数系の初歩 7

Q.
#二項演算 の場合，
#内算法 を何と呼ぶか.

A.
ある二項演算がGの内算法であれば
その二項演算を
Gの「内部二項演算」
「二項内算法」のように呼ぶ.

要は，集合内で #閉じている 二項演算を指す.

演算結果が集合の外側にはみ出てしまったら
内算法とは呼べない.

#代数系の初歩 6

Q.
#内算法(ないさんぽう)
#外算法(がいさんぽう)とは

A.
ある集合Gの元に対して
演算操作が定義されている時に，
その演算がGに対して #閉じている なら
その演算をGの #内算法 と呼ぶ.

逆に，
その演算がGに対して閉じていないなら
その演算をGの #外算法 と呼ぶ.

#代数系の初歩 5

Q.
ある #代数的構造 G が
ある #二項演算 について
#閉じている とはどういう意味か

A.
G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって
二項演算を実行した際
演算の結果である xy も必ずGに属している
ということ.

要は，演算の結果が
集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 1
↑
このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

#群論の初歩 73

Q.
O(n)上で
行列の積という #二項演算 が
#閉じている ことを示せ

A.
#直交行列 の積が
直交行列であることを示す.

直交行列A,Bについて
#転置 の性質より
(AB)^t ＝ B^t A^t

(AB)(AB)^t
=A(B B^t) A^t
=A E A^t
=A A^t
=E
同様に
(AB)^t (AB)＝E

∴ABは直交行列

#群論の初歩 62

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが
1)∀a,b∈H⇒ab∈H
2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H
の時
Hが群である事を示せ.

A.
1)よりHの二項演算は #閉じている.
Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす.
2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在.
∴Hは群の3公理を満たす