#群論入門_正規部分群編 67
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このハッシュタグの復習：

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 65

英語名称のおさらい・続

#特性部分群 characteristic subgroup
#交換子群列(導来列) derived series
#可解群 solvable group，soluble group

英訳の練習問題:
・正規部分群の定義を英語で書け.
・交換子群の定義を英語で書け.
・可解群の定義を英語で書け.

#群論入門_正規部分群編 62

#群論 を学びはじめて
最初につまずくポイントになりやすいのが
「#剰余類」(および #剰余群)という概念.

このタグの連ツイでは，
そのつまずきポイントである
「剰余類」を持ち出さず，
かわりに「#交換子群列」を使って
#可解群 の概念を定義した.

#群論入門_正規部分群編 61

「5次方程式に #解の公式 が無い事」の
要になる概念が #可解群.

本来，可解群の導入には
① #対称群，#交代群
② #同値類，#剰余類
③ #剰余群
などの説明を要するが…

このタグの連ツイでは
①②③のいずれもふれず，
「#可解」を最短で
導入・解説してみた.

#群論入門_正規部分群編 60

Q.
#ガロア理論 で
#可解群 の概念はなぜ重要?

A.
n次方程式には
その方程式の #ガロア群 という
#群 を定義できる.

ガロア群が #可解 ならば
その方程式には #解の公式 が存在する.

5次以上の方程式のガロア群は
可解群でないので，
解の公式が存在しない.

#群論入門_正規部分群編 56

Q.
「#交換子群＝非可換性の強さ」
と捉えると
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
の意味は?

A.
#可解群 の交換子群列の末尾は
…⊳D_{n-1}(G)⊳{e}
D_{n-1}(G)の交換子群が{e}なので
D_{n-1}(G)は #アーベル群.
つまり，列の末尾で非可換性が消える.

#群論入門_正規部分群編 55

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
適当な n∈N に対し，
n次 #導来部分群 が {e} となるような #群 は
#可解群 と呼ばれる.

#可解 群(solvable group, soluble group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・導来列(#交換子群列)が #単位群 で終わるような群のこと

#群論入門_正規部分群編 54

Q.
#可解群 とは.

A.
Gの #交換子群列 が
G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ … ⊳ D_n(G)＝{e}
のように
有限回で末尾が #単位群 となる時，
Gを #可解 な群と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 1
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このタグでは
#部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに
下記の事項を解説しますぞ！

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

＜#代数学の参考書＞

「群論への30講」(朝倉書店1989志賀)

前書きより:
『#群 とはどのようなものかを
まず知りたい人たちにとって
#可解群 や #ベキ零群 の事など
それほど関心のあるテーマでは
ないだろう.』

※個人的な感想:
興味の発端がガロア理論な人は
#可解 の概念を知りたいかも.