#群論入門_正規部分群編 67
↑
このハッシュタグの復習：

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 64

英語名称のおさらい・続

#正規列(正規鎖) subnormal series
#組成列 composition series
#主組成列 normal series

#交換子 commutator

#交換子群 commutator group
#交換子部分群 commutator subgroup

#導来群 derived group
#導来部分群 derived subgroup

#群論入門_正規部分群編 49

短歌にしてみよう.

　交換子　共役変換　した後も
　そのままずっと　交換子だよ

#交換子 は
もとの #群 Gの元で #共役変換 しても
交換子のまま.

ゆえに，#交換子群 H は
もとの群Gの元による共役変換に対し
#閉じている ので
Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 48

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子
[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)
[A,B]=‹ [a,b] | a∈A, b∈B ›
⊂ G

③群Gの
交換子群(交換子部分群)，
#導来群(#導来部分群)
D(G)=[ G, G ]
= ‹ [ g_1, g_2 ] | g_1, g_2∈G ›
◅ G

#群論入門_正規部分群編 45

Q.
#群 G のある元a, b, tについて
t^{-1} [ a, b ] t
＝[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]
↑
どういう意味?

A.
「#交換子 の #共役元 は
共役元の交換子である」.

t^{-1}とtではさむ #共役変換 が
交換子の記号の内側に入り込み
2元a,bにそれぞれはたらくように見える.

#群論入門_正規部分群編 44

Q.
#群 Gのある元a,b,tについて
t^{-1} [ a, b ] t
を #交換子 で表せ.

A.
=t^{-1} (a^{-1} b^{-1} a b) t
=(t^{-1}a^{-1}t)･(t^{-1}b^{-1}t)･(t^{-1}at)･(t^{-1}bt)
=(t^{-1}at)^{-1}･(t^{-1}bt)^{-1}･(t^{-1}at)･(t^{-1}bt)
=[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]

#群論入門_正規部分群編 42

#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.

・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.

#群論入門_正規部分群編 41

Q.
定義を比較

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)

A.
①
[a,b]
=a^{-1}b^{-1}ab

②
[A,B]
=‹ [a,b] | a∈A, b∈B › ★
=‹ a^{-1}b^{-1}ab | a∈A, b∈B ›
全ての交換子の組合わせの集合が #生成 する群.

#群論入門_正規部分群編 40

Q.
#群 Gの #部分群 A, Bについて
「AとBとの #交換子群」とは.

A.
Aの元aと
Bの元bとの #交換子 [ a, b ] の
全体がなす集合Sについて，
Sが #生成 する(#生成系 となる)ような
G の部分群
‹ [ a, b ] | a∈A, b∈B ›
のこと.
[ A, B ] と表記する.

#群論入門_正規部分群編 39

2つの #交換子 の積が
交換子とならない
最小位数の #有限群 は #位数 96.

その証明論文:
Commutators and Commutator Subgroups
ROBERT M. GURALNICK (1982)
https://core.ac.uk/download/pd...
"Here it is shown that the smallest groups G
... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 38

Q.
#群 の「交換子と交換子の積が
一般に #交換子 になるとは限らない」
の証明は

A.
On commutators in groups
https://www.researchgate.net/p...
"the set of commutators does not necessarily form a subgroup" (交換子全体の集合は #部分群 をなすとは限らない)

#群論入門_正規部分群編 37

交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.

2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」

#群論入門_正規部分群編 36

Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？

A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.

つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.

よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.

#群論入門_正規部分群編 35

#可換 なら
ab＝ba
↓
左からa^{-1}b^{-1}をかける
↓
a^{-1}b^{-1}ab＝e
左辺は #交換子.
↓
もし右辺にe以外のものがあったら？
a^{-1}b^{-1}ab＝e, p, q, r, …
↓
左からbaをかける
ab＝ba, bap, baq, bar, …
↓
ab＝baが成り立たない例が生まれる！→非可換

#群論入門_正規部分群編 34

Q.
(1)
#群 G内の #交換子 が #単位元 eのみ.

(2)
Gが #アーベル群.

(1)⇔(2)を示せ

A.
(1)の時
Gの任意の2元a,bに対し
[a,b]＝a^{-1}b^{-1}ab＝e
→ab＝ba
となりGはアーベル群.

逆に(2)の時
Gの任意の2元a,bに対し
ab＝ba
→a^{-1}b^{-1}ab＝e
∴[a,b]＝e

#群論入門_正規部分群編 33

Q.
#群 Gの2元x,yについて
[x, y] ∈ G
の #逆元 をG内で求め
#交換子 で表せ

A.
([x, y])^{-1}
=(x^{-1}･y^{-1}･x･y)^{-1}
複数元の積の逆元は
各元の逆元の逆順の積なので
=y^{-1}･x^{-1}･(y^{-1})^{-1}･(x^{-1})^{-1}
=y^{-1}･x^{-1}･y･x
=[y, x]

#群論入門_正規部分群編 32

Q.
#群 G の #単位元 e について
e が常に #交換子 であることを示せ.

A.
交換子を計算する際の引数として
2つとも e をとれば，
[ e, e ]
＝ e^{-1} e^{-1} e e
＝ e e e e
＝ e

よって
e ＝ [ e, e ]
なので，単位元は
交換子としての表記が可能である.

#群論入門_正規部分群編 31

Q.
#群 Gの2つの元a,bの
#交換子 とは…
1) 定義
2) 何に役立つか

A.
1)
演算結果
a^{-1} b^{-1} a b ∈ G
のこと.
[a, b] と書く.

2)
[a, b] = e (#単位元)
である事と
a,bが #可換 である事は同値.

a^{-1} b^{-1} a b＝e
⇔
ab＝ba
2元に #交換法則 が成立.

#群論入門_正規部分群編 1
↑
このタグでは
#部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに
下記の事項を解説しますぞ！

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群