＜#代数学の参考書＞

「線形代数の世界　抽象数学の入り口」
(東大出版2007斎藤毅)

前書きより:
『#有限次元 の
#線形空間 には #基底 があり，
基底によって，
線形空間の #典型的 な例である
#ベクトル の #空間 からの
#同形 が定まる.』

※この本では
#同型(isomorphism)を同形と表記.

#GröbnerBasis 4

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底の定義」
https://togetter.com/li/876669

1変数多項式:
余りが0⇔#イデアル の元

多変数多項式:
一般に余りが一意でないので
イデアルの元か判定不能.

余りが一意的になるようなイデアルの #基底 が
#グレブナー基底.

#巡回群とは 66

・ #群論 での「#生成系」
・ #ベクトル空間 での「#基底」
↑
両者のつながり，関連性は
この先も #代数学 の勉強をさらに進めていくと
色々見えてくると思います.

基底(basis)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
＞#線形代数 での基底とは，#線形独立 な生成系のこと.

#巡回群とは 65

Q.

①#群論 で
#群 を生成するための
#生成元 や #生成系.

②#線形代数 で
#ベクトル空間 の #基底.

↑
似てる?

A.
①群の任意の元は
生成元の #べき または
生成系の #べき積 で
表せる.

②ベクトル空間の
任意の元(#ベクトル)は
基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

#GröbnerBasis 3

#グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ

記号の説明
https://togetter.com/li/876666

K[ x_1, …, x_n ] :
K係数のn変数 #多項式環.
その要素の集合 { f_1, ..., f_s } を #基底 と呼ぶ.

I :
K[ x_1, …, x_n ]の #イデアル.

基底が生成するイデアル
‹ f_1, ..., f_s ›

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
81

#環論：#Hilbert の #基底 定理
https://www.youtube.com/watch?...

#ヒルベルトの基底定理
#代数 #代数学

#群論の知識

自由アーベル群 (free abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #基底 をもった #アーベル群 のこと.
・ #ベクトル空間 とよく似ている.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
40

#体論：#基底変換 と #拡大次数
https://www.youtube.com/watch?...

#拡大 #基底
#代数 #代数学

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
35

#環論：#生成系、#一次独立 性および #基底 について
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

＜#代数学の参考書＞

「物性物理/物性化学のための群論入門」
(裳華房1996小野寺)

p152より:
『3次以上の #対称不等式 にも拡張できる.
ただしその場合
#基底関数 の積 φ_λ φ_μ φ_ν を
#基底 とする #表現 の
#指標 を知る必要がある.
その指標の導出は
#対称群 という #群 とその表現…』

#GröbnerBasis 24

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「S多項式で遊ぼう」
https://togetter.com/li/895358
・ある #基底 Gが #グレブナー基底 である事を
グレブナー基底の定義から直接示すのは
すごく大変だが，
#S多項式 を使うと簡単に示せる。

#GröbnerBasis 23

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底の判定法」
https://togetter.com/li/893456
・ある #基底 Gが #グレブナー基底 である事と，
その基底の #S多項式(をGで割った余り)
が0である事は同値。

#GröbnerBasis 18

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底は、基底なのか？」
https://togetter.com/li/888878

#イデアル Iの有限部分集合Gが
‹LT(I)›＝‹LT(G)›
を満たし
GがIの #グレブナー基底 の時，
I＝‹G›
すなわちGがIを #生成 する事を示せば
GはIの #基底 である.

#GröbnerBasis 16

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「ぶな大後期中間テスト」
https://togetter.com/li/884903

初歩を復習できる演習問題と解答
・多項式の割り算，多項式が生成する #イデアル の元
・ #辞書式順序，次数付き辞書式順序
・ #先頭項 を使い #基底 が #グレブナー基底 か判定

#GröbnerBasis 15

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底の同値な定義」
https://togetter.com/li/883795

#基底 Gが #イデアル Iの
#グレブナー基底 である事は
下記3通りの同値な定義が可能

①‹LT(I)›＝‹LT(G)›
②f∈I ⇔ fのGで割った余りが0
③fのGで割った余りが一意的

#GröbnerBasis 14

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底のちゃんとした定義」
https://togetter.com/li/882829

・多項式の余りが一意的になる #イデアル の #基底

・ #単項式順序 をもつn変数 #多項式環 で
イデアルIのグレブナー基底Gは
‹LT(I)› ＝ ‹LT(G)›
※LT: #先頭項

#GröbnerBasis 8

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底と計算量」
https://togetter.com/li/878537

「多項式の余りを新たに #基底 に加える」
という操作を繰り返せば，
#グレブナー基底 を必ず計算できる。
これをブッフベルガーのアルゴリズムという。