＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p155より引用:
『#ガロア は，
各 #代数方程式 には
ある #有限群 が対応し
その #方程式 の #根 の性質は
対応する #群 の
#正規部分群 の性質に
依存する事を示した.
正規部分群は
代数方程式の #解 の性質を
決定する基礎を提供.』

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
140

#群論：巡回 #正規部分群 の #部分群
https://www.youtube.com/watch?...

#巡回群
#代数 #代数学

#群論入門_正規部分群編 67
↑
このハッシュタグの復習：

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 63

英語名称のおさらい

#共役(共軛) conjugate
#共役元 conjugate element

#共役変換 conjugation
#相似変換 similarity transformation
#内部自己同型写像 inner automorphism

#共役類 conjugacy class

#正規部分群 normal subgroup
#単純群 simple group

#群論入門_正規部分群編 51

Q.
#群 Gの #交換子群列 とは.

A.
Gの #交換子群 をD(G)＝D_1(G),
D_i (G) の交換子群を D_{i+1} (G)
として帰納的に
G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ …
なる #正規部分群 の列を作る時，
これをGの交換子群列という.

#群論入門_正規部分群編 49

短歌にしてみよう.

　交換子　共役変換　した後も
　そのままずっと　交換子だよ

#交換子 は
もとの #群 Gの元で #共役変換 しても
交換子のまま.

ゆえに，#交換子群 H は
もとの群Gの元による共役変換に対し
#閉じている ので
Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 47

Q.
#群 G の #交換子群 とは.
(1) 定義
(2) どう表記するか
(3) Gとの関係は

A.
(1)
群 G と G 自身との交換子群
[ G, G ] ＝ ‹ [ g1, g2 ] | g1, g2 ∈ G ›
のこと.

(2)
D(G) ＝ [ G, G ]

(3)
G ⊳ D(G)
交換子群はもとの群の #正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 46

Q.
#群 Gの #正規部分群 A, Bに対し，
#交換子群 [A, B] も
Gの正規部分群であることを示せ.

A.
t∈G, a∈A, b∈Bに対し
前ツイより
t^{-1} [a, b] t
=[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B]

よって [A, B] の元は
Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#群論入門_正規部分群編 43

#特性部分群(characteristic subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

もとの #群 の
全ての #自己同型 写像で
不変な #部分群.

#共役変換 は #内部自己同型写像 なので
全ての特性部分群は #正規部分群.

特性部分群の例:
・群の #中心
・ #交換子群(交換子部分群)

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
14 / 16

群論12 #カーネル(#核)
〜 #準同型写像 から自然にできる #正規部分群 〜
https://www.youtube.com/watch?...
20:03

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#群論入門_正規部分群編 30

Q.
#組成列 と
#主組成列 の違い

A.
群Gの #部分群 の列が
G＝H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0 ＝ {1}
なる #正規列 かつ組成列である場合
各H_iがGの #正規部分群 である事は要請されない.

各H_iがGの正規部分群なら
この列をGの主組成列(normal series)と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 27

Q.
群Gの #組成列 とは.

A.
群Gのある #正規列
G ＝ H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0 ＝ {1}
において
H_0, H_1, …, H_nが全て異なり
かつ
どの H_{i-1} と H_i の間にも
これらと異なる H_{i-1} の #正規部分群 が
存在しなければ，
この列をGの組成列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 26

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない.

そのような具体例は？

「#正規部分群 の正規部分群は正規部分群か?」
http://yeaf.web.fc2.com/Normal...
・p2に反例が載っている

Are normal subgroups transitive?
https://math.stackexchange.com...
・同じ反例が載っている

#群論入門_正規部分群編 25

▶#部分群 について

A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 の時
A_1 ⊃ A_3 である.

つまり，⊃ という #二項関係 は
#推移律 を満たす.(#推移的)

▶#正規部分群 について

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

つまり，⊳ という二項関係は
推移律を満たさない.

#群論入門_正規部分群編 24

Q.
#正規列 のように
「隣りあう2項間」が
#正規部分群 でも，
3項間だと
正規部分群の関係が言えない.
どういう事？

A.
「正規部分群の正規部分群は，
もとの #群 の正規部分群には
ならない場合がある.」

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

#群論入門_正規部分群編 23

Q.
G = A_n ⊳ A_{n-1} ⊳ … ⊳ A_0 = {1}

群の #正規列 は，あくまでも
「隣りあう2項間に」★
#正規部分群 の関係を要請するが…

なぜ，わざわざ
★のように限定して
但し書きを付けるのか？

A.
3項間だと，正規部分群の関係が
必ずしも成り立たないから.

#群論入門_正規部分群編 22

群の #正規列:
subnormal series
https://en.wikipedia.org/wiki/...

G ＝ A_n ⊳ A_{n-1} ⊳ … ⊳ A_0 ＝ {1}
隣りあう2項間に
#正規部分群 の関係を要請する.

呼び方：
・正規列
・連正規列
・正規鎖

#群論入門_正規部分群編 21

Q.
群Gの #正規列 とは

A.
#群 Gの #部分群 の列で
G ＝ H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃ … ⊃ H_n ＝{e}
のように
有限の n において
末尾が #単位群 になるものを考える.

ここで各1≦i≦nにおいて
H_i が
H_{i-1} の #正規部分群 ならば
この列をGの正規列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 20

#単純群 (simple group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・「自明でない #正規部分群」
(＝それ自身と #単位群 {e} 以外の正規部分群)
を持たず，
またそれ自身も単位群ではない #群 のこと.

・この頁は熟読しましょう.

#群論入門_正規部分群編 19

Q.
#単純群 とは.

A.
#正規部分群 として
「#自明な正規部分群」のみを持つような
#群 G のことを
単純群という.

つまり，
(1) 群 G そのもの
(2) #単位群 {e}
以外の正規部分群(＝「非自明な正規部分群」)
を持たないような群のこと.