＜#代数学の参考書＞

「有限置換群」(裳華房1981大山)
http://shop.tsutaya.co.jp/book...

『次に，#置換群 の応用として
#Mathieu群 を取り上げる。
#多重可移群 としての
Mathieu群の #構成
および #生成元 を述べるとともに，
#結合構造 の #自己同型 として
その間の #関係，#一意性 を述べた。』

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)
https://www.amazon.com/dp/0394...

p73より:
『#二面体群 の
#ケイリー図型 の
#3次元 的 #解釈 は，
「裏返し線分」
(#生成元「#裏返し」に
対応する #線分)
で結ばれた，
#相対応 する #頂点 をもつ
2個の
平面 #多角形 を与える。』

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)

p68より引用:
『要約しておこう。
#群　　　　#グラフ
#元　　　　#頂点
#生成元　　同色の #有向線分
#語　　　　#道
元の #乗法　　　　道の #継続
Ｉに対する語　　　閉じた道
rx＝sの #可解性　　グラフ網は #連結
』

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p62-63より:
『全ての #元 が
#生成元 a の
#べき として表される
#無限巡回群 の
#ケイリー図型.
等間隔に区切られた直線を
それ自身に移す
#合同移動 を考えよう.

…
|
●　a^{-2}
|
●　a^{-1}
|
●　Ｉ
|
●　a
|
●　a^2
|
…
』

#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 69

英語名称のおさらい

#巡回群 cyclic group
単項生成群 monogenous group

#生成元 generator
原始元 primitive

#巡回部分群 cyclic subgroup
#単位群(自明群) trivial group
#位数 order

#巡回群とは 65

Q.

①#群論 で
#群 を生成するための
#生成元 や #生成系.

②#線形代数 で
#ベクトル空間 の #基底.

↑
似てる?

A.
①群の任意の元は
生成元の #べき または
生成系の #べき積 で
表せる.

②ベクトル空間の
任意の元(#ベクトル)は
基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p61より:
『#頂点 が #元 に #対応 し，
#線分 が群 #生成元 や
その #逆元 を乗ずることに
対応するような，
#有向線分 の網組織(#グラフ)
による #群 の表示は
#19世紀 の #数学者
#ケイリー により考案され
#ケイリー図型 という.』

#巡回群とは 44

前ツイの解説:

「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは
aのある #べき で生成される巡回群」
を既に示してある.

ここで
「Hの #位数 mを固定すると
Hの #生成元 a^i＝a^sも
そこから一意に特定できる」
という事を言えれば，

特定の位数mの部分群Hが
一意だと示せる.

#巡回群とは 43

Q.
#位数 n の #巡回群 ‹a›と
nの約数mに対し
位数mの #部分群 が
ただ1つ存在する事を示せ

A.
位数mの任意の部分群をHとし
a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば
前ツイまでよりH=‹a^s›.
巡回群の位数の性質より
(a^s)^m＝e＝a^n
∴s＝n/m
Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#群論の知識

#有限生成アーベル群
(finitely generated abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #有限生成 な #アーベル群.

・有限生成アーベル群 G の
任意の元 x は，
#生成元 たちの
整数係数 線形結合として書くことができる.

#巡回群とは 42

前ツイの解説:
「aで #生成 される #巡回群 Gの
#部分群 Hは必ず巡回群.」
を示すには…

「Hの全ての元が
ある元a^sの #べき として書ける」
つまりHに #生成元 がある事を示せばよい.

割り算の商と余りの議論で
余り=0を示し
どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 35

①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し
a^i=eとなる最小の自然数iを
生成元aの #位数 と呼ぶ.

②任意の #群 Gの
任意の元xは，
xを生成元とする
#巡回部分群‹x›を生み出せて，
①より‹x›は位数をもつ.
↓
任意の群Gの
任意の元xは
それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 30

#群 G の元が
g_1，g_2，g_3，…
だとする時

この1個1個ぜんぶから
その元を #生成元 にした
#巡回部分群 を作れて
H_1 ＝ ‹ g_1 ›
H_2 ＝ ‹ g_2 ›
H_3 ＝ ‹ g_3 ›
…
のように
Gの #部分群 がざくざく手に入る！

※ただしこれらの巡回部分群は
互いに等しい場合も.

#巡回群とは 29

Q.
よく考えてみると，
#巡回部分群 ってスゴく便利なのでは？

A.
一般の #群 Gがある時，
Gのどの元からも1コずつ
その元が #生成元 となる #巡回群 をつくれて，
その巡回群は必ずGの #部分群 になるわけだから.
Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 25

「#巡回群」という概念が現れる機会は，
沢山あるのだろうか？

答えは「めちゃくちゃ沢山ある」。

#群 G の要素が n 個あったら
その n 個の要素すべてを
それぞれ #生成元 として
巡回群を作ることができ，
何と全て G の #部分群 になるのである.

次ツイから見てみよう.

#巡回群とは 24

Q.
「#原始n乗根」の反例を考える.

-1 は「1の4乗根」だが
「1の原始4乗根」ではない事を示せ.

A.
1の4乗根は
1, i, -1, -i
の4つ.

‹ -1 › ＝ { 1, -1 } で，
-1 は
「1の4乗根がつくる(4つの元を含む)#巡回群」の
#生成元 になれないので
-1 は1の原始4乗根ではない.

#巡回群とは 23

Q.
「#原始n乗根」の例を考える.

虚数単位 i が「1の4乗根」であり
なおかつ「1の原始4乗根」でもある事を示せ.

A.
1の4乗根は
1, i, -1, -i
の4つ.

‹ i › ＝ { i, -1, -i, 1 } で
i は
「1の4乗根すべて(4つ)を含む #巡回群」の #生成元
なので，
i は1の原始4乗根.

#巡回群とは 22

Q.
1の「#原始n乗根」とは.

A.
「1のn乗根がつくる #巡回群」の
#生成元 となれる数のこと.

1の原始冪根
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
1のn乗根のうち「n乗して初めて1になるもの」のこと.

#巡回群とは 21

Q.
整数全体の集合ℤを
#巡回群 とみなす場合
その #生成元 は.

A.
a＝+1 または
a＝-1 を生成元とし，
#二項演算 として加法
#単位元 1
元 x の #逆元 として －x を考え，
演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し
その全体の集合は
{ na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›