#群論入門_正規部分群編 67
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このハッシュタグの復習：

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 64

英語名称のおさらい・続

#正規列(正規鎖) subnormal series
#組成列 composition series
#主組成列 normal series

#交換子 commutator

#交換子群 commutator group
#交換子部分群 commutator subgroup

#導来群 derived group
#導来部分群 derived subgroup

#群論入門_正規部分群編 59

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達しない」
↑
列の末尾に #単位元 が無いってこと？

A.
そうではない.
先頭の #群 Gは必ず単位元eを含み
その #交換子群 も必ずeを含み
列内で順次，常にeを含む.
e"以外"の元を「消す」事ができれば単位群に到達する.

#群論入門_正規部分群編 58

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
しない場合もあるの？

A.
ある #群 Gの #交換子群 D(G)が
G自身になってしまう事がある.
交換子群列のどこかでこれが生じると
D( D_i(G) )＝D_i(G)
で
…⊳D_i(G)⊳D_i(G)
となってしまい
{e}に到達できない.

#群論入門_正規部分群編 56

Q.
「#交換子群＝非可換性の強さ」
と捉えると
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
の意味は?

A.
#可解群 の交換子群列の末尾は
…⊳D_{n-1}(G)⊳{e}
D_{n-1}(G)の交換子群が{e}なので
D_{n-1}(G)は #アーベル群.
つまり，列の末尾で非可換性が消える.

#群論入門_正規部分群編 53

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)を
G内の
「#交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」と解釈する場合
#交換子群列
G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳…
の意味は

A.
Gの非可換性の強さがD_1(G).
D_1(G)の非可換性の強さがD_2(G).
D_i(G)の非可換性の強さがD_{i+1}(G). …

#群論入門_正規部分群編 52

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
[G, G]
・Gの交換子部分群(#交換子群)
・Gの導来部分群(#導来群)

D(G)=D_1(G)
D_{i+1}(G)=[D_i(G), D_i(G)]
と定める時
D_n(G)をn次の #導来部分群 と呼ぶ.

G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳…
を導来列(derived series),#交換子群列 と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 51

Q.
#群 Gの #交換子群列 とは.

A.
Gの #交換子群 をD(G)＝D_1(G),
D_i (G) の交換子群を D_{i+1} (G)
として帰納的に
G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ …
なる #正規部分群 の列を作る時，
これをGの交換子群列という.

#群論入門_正規部分群編 50

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)
という集合の大きさの意味

A.
Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}.

D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時
Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは
「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」を表す
と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 49

短歌にしてみよう.

　交換子　共役変換　した後も
　そのままずっと　交換子だよ

#交換子 は
もとの #群 Gの元で #共役変換 しても
交換子のまま.

ゆえに，#交換子群 H は
もとの群Gの元による共役変換に対し
#閉じている ので
Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 48

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子
[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)
[A,B]=‹ [a,b] | a∈A, b∈B ›
⊂ G

③群Gの
交換子群(交換子部分群)，
#導来群(#導来部分群)
D(G)=[ G, G ]
= ‹ [ g_1, g_2 ] | g_1, g_2∈G ›
◅ G

#群論入門_正規部分群編 47

Q.
#群 G の #交換子群 とは.
(1) 定義
(2) どう表記するか
(3) Gとの関係は

A.
(1)
群 G と G 自身との交換子群
[ G, G ] ＝ ‹ [ g1, g2 ] | g1, g2 ∈ G ›
のこと.

(2)
D(G) ＝ [ G, G ]

(3)
G ⊳ D(G)
交換子群はもとの群の #正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 46

Q.
#群 Gの #正規部分群 A, Bに対し，
#交換子群 [A, B] も
Gの正規部分群であることを示せ.

A.
t∈G, a∈A, b∈Bに対し
前ツイより
t^{-1} [a, b] t
=[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B]

よって [A, B] の元は
Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#群論入門_正規部分群編 43

#特性部分群(characteristic subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

もとの #群 の
全ての #自己同型 写像で
不変な #部分群.

#共役変換 は #内部自己同型写像 なので
全ての特性部分群は #正規部分群.

特性部分群の例:
・群の #中心
・ #交換子群(交換子部分群)

#群論入門_正規部分群編 41

Q.
定義を比較

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)

A.
①
[a,b]
=a^{-1}b^{-1}ab

②
[A,B]
=‹ [a,b] | a∈A, b∈B › ★
=‹ a^{-1}b^{-1}ab | a∈A, b∈B ›
全ての交換子の組合わせの集合が #生成 する群.

#群論入門_正規部分群編 40

Q.
#群 Gの #部分群 A, Bについて
「AとBとの #交換子群」とは.

A.
Aの元aと
Bの元bとの #交換子 [ a, b ] の
全体がなす集合Sについて，
Sが #生成 する(#生成系 となる)ような
G の部分群
‹ [ a, b ] | a∈A, b∈B ›
のこと.
[ A, B ] と表記する.

#群論入門_正規部分群編 1
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このタグでは
#部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに
下記の事項を解説しますぞ！

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群