#群論入門_正規部分群編 59

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達しない」
↑
列の末尾に #単位元 が無いってこと？

A.
そうではない.
先頭の #群 Gは必ず単位元eを含み
その #交換子群 も必ずeを含み
列内で順次，常にeを含む.
e"以外"の元を「消す」事ができれば単位群に到達する.

#群論入門_正規部分群編 58

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
しない場合もあるの？

A.
ある #群 Gの #交換子群 D(G)が
G自身になってしまう事がある.
交換子群列のどこかでこれが生じると
D( D_i(G) )＝D_i(G)
で
…⊳D_i(G)⊳D_i(G)
となってしまい
{e}に到達できない.

#群論入門_正規部分群編 56

Q.
「#交換子群＝非可換性の強さ」
と捉えると
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
の意味は?

A.
#可解群 の交換子群列の末尾は
…⊳D_{n-1}(G)⊳{e}
D_{n-1}(G)の交換子群が{e}なので
D_{n-1}(G)は #アーベル群.
つまり，列の末尾で非可換性が消える.

#群論入門_正規部分群編 55

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
適当な n∈N に対し，
n次 #導来部分群 が {e} となるような #群 は
#可解群 と呼ばれる.

#可解 群(solvable group, soluble group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・導来列(#交換子群列)が #単位群 で終わるような群のこと

#群論入門_正規部分群編 54

Q.
#可解群 とは.

A.
Gの #交換子群列 が
G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ … ⊳ D_n(G)＝{e}
のように
有限回で末尾が #単位群 となる時，
Gを #可解 な群と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 21

Q.
群Gの #正規列 とは

A.
#群 Gの #部分群 の列で
G ＝ H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃ … ⊃ H_n ＝{e}
のように
有限の n において
末尾が #単位群 になるものを考える.

ここで各1≦i≦nにおいて
H_i が
H_{i-1} の #正規部分群 ならば
この列をGの正規列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 20

#単純群 (simple group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・「自明でない #正規部分群」
(＝それ自身と #単位群 {e} 以外の正規部分群)
を持たず，
またそれ自身も単位群ではない #群 のこと.

・この頁は熟読しましょう.

#群論入門_正規部分群編 19

Q.
#単純群 とは.

A.
#正規部分群 として
「#自明な正規部分群」のみを持つような
#群 G のことを
単純群という.

つまり，
(1) 群 G そのもの
(2) #単位群 {e}
以外の正規部分群(＝「非自明な正規部分群」)
を持たないような群のこと.

#群論入門_正規部分群編 18

Q.
「自明な #正規部分群」とは.

A.
#群 G の部分集合のうち
下記の２つは，
(Gの「#自明な部分群」であると同時に)
Gの「#自明な正規部分群」でもある.

(1)
群 G そのもの.

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}.

#巡回群とは 69

英語名称のおさらい

#巡回群 cyclic group
単項生成群 monogenous group

#生成元 generator
原始元 primitive

#巡回部分群 cyclic subgroup
#単位群(自明群) trivial group
#位数 order

#巡回群とは 48

以前
「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は
#単位群{e}と自分以外に部分群を持たない.
これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った.

前ツイによると
「真部分群を持たない群は
素数★ #位数 の #巡回群 のみ」.
素数つながりである.

#巡回群とは 8

Q.
#単位群(自明な群)は #巡回群 であり，
その #生成元 の #位数 が
1である事を示せ.

A.
単位群(自明群，trivial group)は
ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}.

全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群.

e^n＝eとなる最小の自然数は
n＝1なので，
eの位数は1.

#群論の初歩 67

Q.
「#真部分群」とは
どんなイメージ？

A.
分かりやすい例えでいうと，
自然数の
「1と自分自身を除く約数」に似ている.

素数pは
1と自分自身pでしか割り切れない.

真部分群をもつ群Gは
合成数のようなもので，
#単位群{e}と自分自身G以外に
(自明でない)部分群を持つ.

#群論の初歩 66

Q.
「自明でない #部分群 を持たない」とは
どんなイメージ？

A.
分かりやすい例えでいうと
素数に似ている.

素数pは
1と
自分自身pでしか割り切れない。
(自明な約数しか持たない)

群Gも，
#単位群{e}と
自分自身Gという
自明な部分群しか持たない場合がある.

#群論の初歩 63

Q.
#自明な部分群 とは

A.
#群 Gの部分集合のうち
下記の２つを
Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ.

(1)
群Gそのもの

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 24

Q.
#単位群 とは.

A.
ただ1つの元として
#単位元 e を持つような集合
{ e }
は，
#位数 が 1 の #有限群 であり
単位群と呼ぶ.

例:
・ #二項演算 として実数の積
・単位元として実数 1
を考えれば
{ 1 } という集合は単位群である.