#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 71

下記を単語登録しておこう。
‹ ›　「せいせい」
^　「べき」または「はっと」

※ ^ の名称
https://dic.pixiv.net/a/%5E
・サーカムフレックス･アクセント
・アクサンシルコンフレックス
・ハット記号

キャレットと呼ばれることもあるが
Unicodeではキャレットは「 ‸ 」

#巡回群とは 70

英語名称の復習・続

群の #生成系(生成集合)
generating set of a group

#有限生成 finitely generated
有限生成群 finitely generated group

英訳の練習問題:
・ただ1つの生成元から生成される群を巡回群という。
・生成系が有限集合である群を有限生成群という。

#巡回群とは 69

英語名称のおさらい

#巡回群 cyclic group
単項生成群 monogenous group

#生成元 generator
原始元 primitive

#巡回部分群 cyclic subgroup
#単位群(自明群) trivial group
#位数 order

#巡回群とは 68

有限生成群 (finitely generated group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・有限部分集合 S を #生成系 とする #群 G のこと.

・任意の #有限群 G は #有限生成 である.

・しかし，有限生成群の #部分群 は
必ずしも有限生成とは限らない.

#巡回群とは 67

Q.
#群論 において
#有限生成 とは.

A.
ある集合 S と，
S が #生成系 となって #生成 される #群
G ＝ ‹S› について
S が有限集合である時
G を有限生成(finitely generated)であるという.

#巡回群とは 66

・ #群論 での「#生成系」
・ #ベクトル空間 での「#基底」
↑
両者のつながり，関連性は
この先も #代数学 の勉強をさらに進めていくと
色々見えてくると思います.

基底(basis)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
＞#線形代数 での基底とは，#線形独立 な生成系のこと.

#巡回群とは 65

Q.

①#群論 で
#群 を生成するための
#生成元 や #生成系.

②#線形代数 で
#ベクトル空間 の #基底.

↑
似てる?

A.
①群の任意の元は
生成元の #べき または
生成系の #べき積 で
表せる.

②ベクトル空間の
任意の元(#ベクトル)は
基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

#巡回群とは 64

x, y ∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶#巡回部分群 の性質より
①xが #生成 する巡回群 ‹ x › はGの #部分群
②yが生成する巡回群 ‹ y › はGの部分群

▶#部分集合が生成系となる部分群 の性質より
③{ x, y } が #生成系 となる群 ‹ x, y › はGの部分群

#巡回群とは 63

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
について学ぶと
「複数の元」と #部分群
の関係について見方が変わる。

「#群 Gがある2元x,yを要素に持つ」
という事は，何を意味する?

A.
「Gは，部分集合M={x,y}が #生成系 となる
群 ‹M› を部分群に持つ」という事を意味する.

#巡回群とは 62

#群 G の元が
g_1，g_2，g_3，…
の時

Gの部分集合Mを色々変えながら
Mが #生成系 となる #部分群 ‹M› を
作ってゆくと…

H_1 = ‹ g_1, g_2 ›
H_2 = ‹ g_1, g_3 ›
H_3 = ‹ g_2, g_3 ›
H_4 = ‹ g_1, g_2, g_3 ›
…

のように
Gの #部分群 がざくざく手に入る！

#巡回群とは 61

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
って
スゴく便利なのでは？

A.
#群 Gの複数の元の組み合わせで
さまざまな部分集合Mを作れるが…

そのどのMからも
「Mが #生成系 となる群」をつくれて
その群は必ずGの #部分群 になる.

Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 60

Q.
#群 Gの部分集合
M＝{ a_1, …, a_m }
の #べき積 の全体がなす集合は
Gの #部分群 である事を示せ.

A.
Mのべき積の全体という集合が
群をなす事は証明済み.
ここでMはGの部分集合だから
MはGの部分群となり
M≤G が言える.

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 58

Q.
#べき積 どうしの積は
べき積になるだろうか.

#群 Gの部分集合
M={a,b}を #生成系 とし
べき積z=(a^2)bに対し
zとzの積は?

A.
Gが一般的な群の場合
z^2＝{(a^2)b}^2＝(a^2)b(a^2)b
これは「Mから重複を許して
元の #べき 同士をかけ合わせた形」なので
べき積である.

#巡回群とは 57

Q.
「#べき積 を作る際
#群 の部分集合Mから元を取り出す操作において
重複があってもよい」
↑
どういう事か

A.
例えばM={a, b}を #生成系 とする場合
(a^2)(b^3) とか
a b^{-2} のような形だけでなく
(b^2)(a^{-1})(b^3)a^2 みたいに
M内の同じ元を繰り返し使ってよい.

#巡回群とは 56

#群 の部分集合によって #生成 される #部分群 について
https://mathlandscape.com/grou...

呼び名が長い.
群の #部分集合が生成する部分群
群の #部分集合が生成系となる部分群

#べき積 を作る際，
部分集合から元を取り出す操作において
重複があってもよい
というのがポイント.

#巡回群とは 55

①
#群 Gの1元aが #生成 する
Gの #巡回部分群 ‹a›

②
群Gの部分集合Mが生成する
Gの #部分群 ‹M› は，
・「Mが生成するGの部分群」
・「Mが #生成系 となるGの部分群」
↑
②に名前を付けると…
#部分集合が生成する部分群
#部分集合が生成系となる部分群
長っ！

#巡回群とは 54

#群 Gの部分集合Mから #生成 される
Gの #部分群
(すなわち
Gの複数元の #べき積 を要素に持つ
Gの部分群)
を ‹M› と書き
①「Mが生成するGの部分群」
②「Mが #生成系 となるGの部分群」
と呼ぶ.
↑
①や②を
1つの用語で言い表す方法がない.
(巡回群みたいな名前が無い)

#巡回群とは 53

#群 Gの1元aから #生成 される
(すなわちaの #べき を要素に持つ)
Gの #部分群 ‹a› を
「aが生成するGの #巡回部分群」
と呼び
#巡回群 である.

↑
これをaのかわりに
Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき
「巡回部分群」「巡回群」の所で
かわりの用語が無くて困る.