＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p62-63より:
『全ての #元 が
#生成元 a の
#べき として表される
#無限巡回群 の
#ケイリー図型.
等間隔に区切られた直線を
それ自身に移す
#合同移動 を考えよう.

…
|
●　a^{-2}
|
●　a^{-1}
|
●　Ｉ
|
●　a
|
●　a^2
|
…
』

#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 65

Q.

①#群論 で
#群 を生成するための
#生成元 や #生成系.

②#線形代数 で
#ベクトル空間 の #基底.

↑
似てる?

A.
①群の任意の元は
生成元の #べき または
生成系の #べき積 で
表せる.

②ベクトル空間の
任意の元(#ベクトル)は
基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

#巡回群とは 58

Q.
#べき積 どうしの積は
べき積になるだろうか.

#群 Gの部分集合
M={a,b}を #生成系 とし
べき積z=(a^2)bに対し
zとzの積は?

A.
Gが一般的な群の場合
z^2＝{(a^2)b}^2＝(a^2)b(a^2)b
これは「Mから重複を許して
元の #べき 同士をかけ合わせた形」なので
べき積である.

#巡回群とは 53

#群 Gの1元aから #生成 される
(すなわちaの #べき を要素に持つ)
Gの #部分群 ‹a› を
「aが生成するGの #巡回部分群」
と呼び
#巡回群 である.

↑
これをaのかわりに
Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき
「巡回部分群」「巡回群」の所で
かわりの用語が無くて困る.

#巡回群とは 49

Q.
ここまでで
#群 Gの「1つの元」aから #生成 される
#巡回群 ‹a› を考えてきた.

では
群Gの「複数の元」から生成されるのは?

A.
群Gの部分集合
M＝{ a_1, a_2, …, a_m }
に対し，
これらの要素の #べき を
組み合わせた積(#べき積)の全体がなす群を考える.

#巡回群とは 44

前ツイの解説:

「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは
aのある #べき で生成される巡回群」
を既に示してある.

ここで
「Hの #位数 mを固定すると
Hの #生成元 a^i＝a^sも
そこから一意に特定できる」
という事を言えれば，

特定の位数mの部分群Hが
一意だと示せる.

#巡回群とは 42

前ツイの解説:
「aで #生成 される #巡回群 Gの
#部分群 Hは必ず巡回群.」
を示すには…

「Hの全ての元が
ある元a^sの #べき として書ける」
つまりHに #生成元 がある事を示せばよい.

割り算の商と余りの議論で
余り=0を示し
どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 34

Q.
#加法群 G の
ある1つの元 a について
a が #生成 する #巡回部分群 は.

A.
加法群の場合，演算の #べき は
a^1＝a
a^2＝a＋a ＝ 2a
a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma
a^{-m}＝ －ma
と表せて
H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ }
Hは
(一般に)#無限群 かつ
#巡回群 かつ
Gの #部分群.

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 28

Q.
H を
元 a によって #生成 される
Gの #巡回部分群 とする.
H が G の #部分群 である事を示せ.

A.
前ツイよりHは #群.
また前提より a∈G で
群Gの #二項演算 は #閉じている ので
aの任意の #べき はGに属する.
∴Hの全ての元がGに属し
HはGの部分集合で
HはGの部分群.

#巡回群とは 27

Q.
Hを
元aによって #生成 される
Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする.

Hが #群 である事を示せ.

A.
H の任意の2元に対し
(a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで
#二項演算 が #閉じている.
#単位元 は a^0＝e.
任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在.
よって H は群である.

#巡回群とは 26

Q.
#巡回部分群 とは

A.
#群 G の1つの元 a について
その「正と負の全ての #べき の集合」を考え
H
＝{ a^n | n∈ℤ }
＝{
…,
a^{-2},
a^{-1},
a^0＝e,
a^1＝a,
a^2,
…
}
＝ ‹ a ›
と書く.

H を
「元 a によって #生成 される
G の巡回部分群」と呼ぶ.

#巡回群とは 21

Q.
整数全体の集合ℤを
#巡回群 とみなす場合
その #生成元 は.

A.
a＝+1 または
a＝-1 を生成元とし，
#二項演算 として加法
#単位元 1
元 x の #逆元 として －x を考え，
演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し
その全体の集合は
{ na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 8

Q.
#単位群(自明な群)は #巡回群 であり，
その #生成元 の #位数 が
1である事を示せ.

A.
単位群(自明群，trivial group)は
ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}.

全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群.

e^n＝eとなる最小の自然数は
n＝1なので，
eの位数は1.

#巡回群とは 6

Q.
#巡回群 は
#アーベル群 である事を示せ.

A.
#群 Gが
aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば
Gの任意の2元x,yは
x＝a^m
y＝a^n
という #べき の形である.(m,n∈ℤ)
xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n}
yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy
なので，#交換法則 が成り立つ.

#巡回群とは 4

#巡回群(cyclic group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ただ1つの元で生成される #群.
#生成 とは，群のどの元も
#生成元 の整数 #べき で書けるという事.

・単項生成群(monogenous group)とも.

・生成元(generator) のことを
原始元(primitive) とも呼ぶ.

#巡回群とは 3

Q.
#巡回群 とは.

A.
#群 G の
ある1つの元を a として，
G のすべての元が
a の #べき である( a^n に等しい)とき，
G ＝ ‹ a ›
と書き
G は「a を #生成元 とする巡回群」であるという.

#巡回群とは 2

Q.
#群 のある1つの元 a の #べき とは

A.
a の n 個の積を
a^n ＝ aaa…a ※n個
と書く.

a^{-1} の n 個の積を
a^{-n} ＝ (a^{-1}) (a^{-1}) (a^{-1}) … (a^{-1}) ※n個
と書く.

a^0 ＝ e (#単位元)と定義.

任意の整数 n に対して定義される a^n を
元 a のべきと呼ぶ.

#巡回群とは 1
↑
このタグでは
#群論の初歩 の内容を前提に
下記を学びますぞ！

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積