#群論入門_正規部分群編 67
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このハッシュタグの復習：

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 63

英語名称のおさらい

#共役(共軛) conjugate
#共役元 conjugate element

#共役変換 conjugation
#相似変換 similarity transformation
#内部自己同型写像 inner automorphism

#共役類 conjugacy class

#正規部分群 normal subgroup
#単純群 simple group

#群論入門_正規部分群編 49

短歌にしてみよう.

　交換子　共役変換　した後も
　そのままずっと　交換子だよ

#交換子 は
もとの #群 Gの元で #共役変換 しても
交換子のまま.

ゆえに，#交換子群 H は
もとの群Gの元による共役変換に対し
#閉じている ので
Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 46

Q.
#群 Gの #正規部分群 A, Bに対し，
#交換子群 [A, B] も
Gの正規部分群であることを示せ.

A.
t∈G, a∈A, b∈Bに対し
前ツイより
t^{-1} [a, b] t
=[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B]

よって [A, B] の元は
Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#群論入門_正規部分群編 45

Q.
#群 G のある元a, b, tについて
t^{-1} [ a, b ] t
＝[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]
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どういう意味?

A.
「#交換子 の #共役元 は
共役元の交換子である」.

t^{-1}とtではさむ #共役変換 が
交換子の記号の内側に入り込み
2元a,bにそれぞれはたらくように見える.

#群論入門_正規部分群編 43

#特性部分群(characteristic subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

もとの #群 の
全ての #自己同型 写像で
不変な #部分群.

#共役変換 は #内部自己同型写像 なので
全ての特性部分群は #正規部分群.

特性部分群の例:
・群の #中心
・ #交換子群(交換子部分群)

#群論入門_正規部分群編 17

Q.
#アーベル群 Gの
#部分群 Nは，
Gの #正規部分群 でもある事を示せ

A.
Nの元nの
Gの元gによる #共役変換 は
f(n)
=g^{-1} n g
GとNは #二項演算 が共通で
nはGの元でもあり
G内とN内で #交換法則 が成立するので
=g^{-1} g n
=n ∈N

∴NはGの正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 14

#正規部分群 (normal subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 の任意の元による
#内部自己同型写像(#共役変換)のもとで
不変な #部分群 のこと.

正規部分群の重要性を
最初に明らかにしたのは，
#エヴァリスト・ガロア である.

#群論入門_正規部分群編 12

Q.
#正規部分群 とは.

A.
#群 G の #部分群 N について，
N の任意の元 n が
「G の任意の元 g による #共役変換」の結果
ふたたび N に属する時
N を G の正規部分群と呼び
G⊳N と表記する.

論理記号で表すと
∀n∈N, ∀g∈G, (g^{-1} n g)∈N
⇔
G⊳N.

#群論入門_正規部分群編 10

Q.
#群 Gが #アーベル群 なら
G内の #共役変換 は
どんな意味を持つか.

A.
Gの2要素x, aに対し
x の共役変換は
f(x)
＝ a^{-1} x a
G内の任意の2元に
#交換法則 が成り立つので
＝ a^{-1} a x
＝ x

つまり，可換群では
任意の共役変換は #恒等変換.

#群論入門_正規部分群編 9

Q.
#群 G内の元aを1つ固定し，
G内の任意の元xの #共役元 を返す #写像
f(x)＝a^{-1} x a
が，Gにおける
#内部自己同型写像(#共役変換).

f の写像としての性質を
どう表記できるか?

A.
Gの元 x を引数にとり
Gの元 a^{-1} x a を返すので
f : G→G
と書ける.

#群論入門_正規部分群編 8

#内部自己同型写像 (inner automorphism)
＝#共役変換
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ある操作をして，
次に別の操作をして，
次に「最初の操作の逆」をするような #写像 のこと.

f^{-1} ∘ g ∘ f (X)
と書くことができる.
(右から順にXに作用する点に注意)

#群論入門_正規部分群編 7

Q.
#群論 における「#共役変換」
別名は

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・「#共役 変換」(conjugation) を
漢字を変えて
「共軛変換」とも書く.

・「#相似変換」(similarity transformation) とも呼ぶ.

・「#内部自己同型写像」(inner automorphism) ともいう.

#群論入門_正規部分群編 6

Q.
#群論 における「#共役変換」とは.

A.
#群 G の2要素 x, a がある時，
x から
x の #共役元 として
y ＝ f(x) ＝ a^{-1} x a
という G の元 y を得る変換のことを
「x の a による共役変換」という.

この時，x と y は #共役 である.

#群論入門_正規部分群編 1
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このタグでは
#部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに
下記の事項を解説しますぞ！

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

#群論の知識

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#シローの定理 その2:

「素数 p を固定した時，
#有限群 G の全てのシロー p-部分群は
互いに #共役 である
(G内の #共役変換 を通して #同型 である).」

H と K が
#群 G のシロー p-部分群であれば，
g^{-1}Hg＝K なる G の元 g が存在.