#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
140

#群論：巡回 #正規部分群 の #部分群
https://www.youtube.com/watch?...

#巡回群
#代数 #代数学

#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 69

英語名称のおさらい

#巡回群 cyclic group
単項生成群 monogenous group

#生成元 generator
原始元 primitive

#巡回部分群 cyclic subgroup
#単位群(自明群) trivial group
#位数 order

#巡回群とは 53

#群 Gの1元aから #生成 される
(すなわちaの #べき を要素に持つ)
Gの #部分群 ‹a› を
「aが生成するGの #巡回部分群」
と呼び
#巡回群 である.

↑
これをaのかわりに
Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき
「巡回部分群」「巡回群」の所で
かわりの用語が無くて困る.

#巡回群とは 49

Q.
ここまでで
#群 Gの「1つの元」aから #生成 される
#巡回群 ‹a› を考えてきた.

では
群Gの「複数の元」から生成されるのは?

A.
群Gの部分集合
M＝{ a_1, a_2, …, a_m }
に対し，
これらの要素の #べき を
組み合わせた積(#べき積)の全体がなす群を考える.

#巡回群とは 48

以前
「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は
#単位群{e}と自分以外に部分群を持たない.
これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った.

前ツイによると
「真部分群を持たない群は
素数★ #位数 の #巡回群 のみ」.
素数つながりである.

#巡回群とは 46

Q.
#群 Gが |G|≧2で
#真部分群 を持たなければ
Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ.

A.
#単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが
題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G.
前ツイより
|G|が合成数nなら
nの約数mにより位数n/mの部分群があるので
|G|は素数.

#巡回群とは 45

ここで得られた結果は
「#巡回群 Gには，
|G|の任意の約数mに対し
#位数 がmであるような
Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」
というもの.

群論の勉強を進めると，この先
「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」
(#ラグランジュの定理)
というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44

前ツイの解説:

「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは
aのある #べき で生成される巡回群」
を既に示してある.

ここで
「Hの #位数 mを固定すると
Hの #生成元 a^i＝a^sも
そこから一意に特定できる」
という事を言えれば，

特定の位数mの部分群Hが
一意だと示せる.

#巡回群とは 43

Q.
#位数 n の #巡回群 ‹a›と
nの約数mに対し
位数mの #部分群 が
ただ1つ存在する事を示せ

A.
位数mの任意の部分群をHとし
a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば
前ツイまでよりH=‹a^s›.
巡回群の位数の性質より
(a^s)^m＝e＝a^n
∴s＝n/m
Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 42

前ツイの解説:
「aで #生成 される #巡回群 Gの
#部分群 Hは必ず巡回群.」
を示すには…

「Hの全ての元が
ある元a^sの #べき として書ける」
つまりHに #生成元 がある事を示せばよい.

割り算の商と余りの議論で
余り=0を示し
どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 41

Q.
#巡回群 G＝‹a›の #部分群 Hは
巡回群である事を示せ

A.
G,Hの元はa^iの形.
a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおく①
Hの元a^jでj=qs+r(0≦r≦s-1)②とおく.
a^j={(a^s)^q}a^r
→{(a^(-s))^(-q)}(a^j)=a^r
左辺a^s,a^(-s),a^j∈Hより右辺a^r∈H
①②よりr=0.
∴H=‹a^s›

#巡回群とは 37

Q.
ここまで出てきた「#位数」の定義を整理
①#有限群 Gの位数
②#巡回群 ‹a› の元 x の位数
③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数

A.
①
群Gに属する異なる元の個数.

②
x^n=eとなる最小の自然数n.

③
aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36

Q.
「#巡回群 の元の #位数」は定義済.
では
巡回群とは限らない一般の #群 Gの
元aの位数とは.

A.
aが #生成 する #巡回部分群
‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …}
が位数nの #有限群 なら
元aの位数はnとする.

→巡回群でない一般の群も
元の位数を定義可能

#群論の知識

#有限アーベル群の構造定理
(structure theorem of finite abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・有限アーベル群の基本定理とも.
・「任意の #有限アーベル群 は，#巡回群 の #直積 に #同型」.
・ #クロネッカー が1870年に証明.

#巡回群とは 34

Q.
#加法群 G の
ある1つの元 a について
a が #生成 する #巡回部分群 は.

A.
加法群の場合，演算の #べき は
a^1＝a
a^2＝a＋a ＝ 2a
a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma
a^{-m}＝ －ma
と表せて
H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ }
Hは
(一般に)#無限群 かつ
#巡回群 かつ
Gの #部分群.

#巡回群とは 29

Q.
よく考えてみると，
#巡回部分群 ってスゴく便利なのでは？

A.
一般の #群 Gがある時，
Gのどの元からも1コずつ
その元が #生成元 となる #巡回群 をつくれて，
その巡回群は必ずGの #部分群 になるわけだから.
Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 25

「#巡回群」という概念が現れる機会は，
沢山あるのだろうか？

答えは「めちゃくちゃ沢山ある」。

#群 G の要素が n 個あったら
その n 個の要素すべてを
それぞれ #生成元 として
巡回群を作ることができ，
何と全て G の #部分群 になるのである.

次ツイから見てみよう.

#巡回群とは 24

Q.
「#原始n乗根」の反例を考える.

-1 は「1の4乗根」だが
「1の原始4乗根」ではない事を示せ.

A.
1の4乗根は
1, i, -1, -i
の4つ.

‹ -1 › ＝ { 1, -1 } で，
-1 は
「1の4乗根がつくる(4つの元を含む)#巡回群」の
#生成元 になれないので
-1 は1の原始4乗根ではない.

#巡回群とは 23

Q.
「#原始n乗根」の例を考える.

虚数単位 i が「1の4乗根」であり
なおかつ「1の原始4乗根」でもある事を示せ.

A.
1の4乗根は
1, i, -1, -i
の4つ.

‹ i › ＝ { i, -1, -i, 1 } で
i は
「1の4乗根すべて(4つ)を含む #巡回群」の #生成元
なので，
i は1の原始4乗根.