#群論の知識

(#群論 で) #自由積 (free product)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

2つの #群 G, H から
新しい群 G∗H を構成する操作.

自由積 G∗H は
G と H をともに #部分群 として含む.

自由積において
元は G, H の縮約された #語.
#二項演算 は，語を連結して縮約すること.

＜#代数学の参考書＞

パリティ物理学コース
物理数学特論「群と物理」
https://www.amazon.co.jp/dp/46...
・出版社: 丸善
・著者: 佐藤 光
・出版年: 1992年

『#群 の中でも
#物理 によく出てくる
「#リー群」を中心に，
#概念 をつかんで
#使える ようになることを
#目標 としている。』

＜#代数学の参考書＞

SGCライブラリ
「物理のためのリー群とリー代数」(2008)

前書きより:
『#量子力学 や #素粒子論 への
#応用 を念頭におくならば
SU(2)やSU(3)といった #群 の
#個別 の解説を避ける事はできない.
一方で将来の学習に備えるには
#リー群 や #リー代数 の #一般論 も…』

#代数学を独学できるYouTube動画

ヨビノリによる
「#代数学」シリーズ
2 / 10

【#大学数学】#群論 入門②
#群 の定義と例
https://www.youtube.com/watch?...
38:53

#代数 #抽象代数学 #数学

#群論の知識

#群 の #ホモロジー(group homology)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#G加群 Mに対しDMを
{gm−m|g∈G, m∈M} から生成される
#部分加群 とする.
Mに対し商M_{G}＝M/DM
を与える対応は #右完全関手.
その #左導来関手 H_n(G,M) が
群のホモロジー.

群の #コホモロジー の構成と双対.

#加群の知識

#群 上の #加群 (G-module)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#アーベル群 M であって
Mの群構造と #両立 するGの #作用 を持つもの」
の事を，
群G上の加群 (module over G) または
G-加群 (G-module) という.

#群論の知識

群のコホモロジー (group cohomology)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#代数トポロジー に由来する技法である
#コホモロジー 論を使って
#群 を研究する.

群 G の G #加群 への #作用 をみることで
その群の性質を明らかにする.

＜#代数学の参考書＞

「物性物理/物性化学のための群論入門」
(裳華房1996小野寺)

p152より:
『3次以上の #対称不等式 にも拡張できる.
ただしその場合
#基底関数 の積 φ_λ φ_μ φ_ν を
#基底 とする #表現 の
#指標 を知る必要がある.
その指標の導出は
#対称群 という #群 とその表現…』

#群論の知識

#基本群 (fundamental group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #代数トポロジー において，
「ある固定された点を
始点と終点にもつ2つのループが
互いに連続変形可能か」を測る
点付き #位相空間 に付帯する #群.

・ #ホモトピー群 の最も単純な例.

＜#代数学の参考書＞

「群の発見」(2001原田)

前書きより:
『#代数方程式 ばかりでなく，
#幾何学 や #解析学 で
様々な #数学的対象 に
背後に #群 のようなものが
隠れている事がある.
その隠れた群を #発見 できると，
その #学問 は大きく #発展 し
#本質的 な #深い研究 が始まる.』

#解析力学_保存量と対称性編 9

Q.
#対称性 を記述する数学とは.

A.
保存則と対称性(Conservation laws and symmetry)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

"物理的対称性を記述する変換は #群.
#群論 は物理学のための数学として重要.

連続的対称性は
#連続群(#リー群)によって数学的に規定される."

＜#代数学の参考書＞

「見える！群論入門」(日本評論社2017𦚰)

前書きより:
『この本では，特に
「#群 の #元」が備えている
「#空間 の動き」という側面を
強調しています。
空間に浮遊する #点 の変化や，
変化しない #正多角形 を通して，
見えない「空間の動き」を調べていきます。』

#群論の知識

#モジュラー群(modular group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ad－bc＝1 を満たす整数 a, b, c, dにより
z → (az＋b) / (cz＋d)
と表せる
複素上半平面の一次分数変換の #群.

#特殊射影線形群 PSL( 2, Z ) に #同型.

#体論の初歩 2

Q.
代数方程式について考える時
どうして #体 の概念が必要なの？
#群 や #環 じゃだめなの？

A.
「移項して両辺を係数で割ってx＝の形を作る」
すなわち
「代数的な式変形で求解」
という操作において，
「0除算を禁止した割り算」
が必要なので，条件として体が必要.

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

前書きより引用:
『2章では，#位相群 のうちでも
実用上たいへん重要な
#線型群(#行列 のつくる #群)
について述べた.
ここで用いられる手法は
行列の #指数写像 であって，
この正確な取扱いのために
#ベキ級数論 を適用した.』

#体論の初歩 1

Q.
#群，#環，#体 の3つのうち
「#対称性」を考える上で
最も有用なのはどれか

A.
環と体は2種類の #二項演算 をたばねた構造で
「#逆元 が存在しない場合」という例外あり.

一方，群はシンプルで
1種類の二項演算のみを扱い
どの要素も確実に逆元の存在が保証されている.

#群論の知識

代数群(algebraic group) あるいは
群多様体(group variety)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#代数多様体 であるような #群 であって，
積と逆元を取る演算が
その #多様体 上の正則写像によって与えられるものを指す.

代数群の重要な例:
・アーベル多様体
・ #線型代数群

#代数学を独学できるYouTube動画

Masaki Kogaによる
「具体例で学ぶ #代数学《#群論》」シリーズ
12 / 21

#群 と #同値関係
［具体例で学ぶ代数学《群論》No.12］
https://www.youtube.com/watch?...
19:17

#数学 #抽象代数学 #代数

＜#量子論の参考書＞

「量子論のための表現論」(共立出版2014林)

p155より引用:
『#量子系 で #重要 となる
#コヒーレント 状態は，
#基底状態 などの
#安定 な #状態 についての
#群 の #作用 に関する
#軌道 として与えられる。
安定とは，#部分群 の作用に関し
#不変 という事。』

#代数学を独学できるYouTube動画

Masaki Kogaによる
「具体例で学ぶ #代数学《#群論》」シリーズ
10 / 21

#群 の #準同型 ・ #同型 ・ #核 ・ #像
［具体例で学ぶ代数学《群論》No.10］
https://www.youtube.com/watch?...
21:21

#数学 #抽象代数学 #代数