解析的枠組みはリー代数構造から直接、最適な量子不確定性の限界を導き出し、状態最適化を代数計算に置き換えます。保存則を持つエルミート演算子と非エルミート演算子に適用されます。

#量子不確定性 #リー代数 #研究

＜#物理数学の参考書＞

SGCライブラリ83
「共形場理論
現代数理物理の基礎として」(2011伊藤)

前書きより:
『本書を読むための予備知識としては
･#場の理論 の入門的事項
･#リー代数
･#リー群
等の知識を仮定している。また
･#複素関数
･#楕円関数
･#特殊関数
等の知識も用いる。』

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数　原著第2版」
(ジョージァイ2010)

裏表紙より:
『#簡単 な #量子力学系 から
#アイソスピン，そして
SU(5) や SO(10) や
#例外群 に基づく
#大統一理論 に至るまで，
#リー代数 とその #表現論 を
#説明 してゆく #手際 は
#見事 である。』

#リー群:ある
#リー環:ある
#リー体:無い
#リー代数:ある

#位相群:ある
#位相環:ある ①
#位相体:ある ②
#位相代数:ある ③

#連続群:ある
#連続環:言わない
#連続体:ある
#連続代数:言わない

①②
Pontryagin「連続群論」

③
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#位相線型環=#位相多元環，位相代数

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原)

p1より引用:
『#量子力学 や
#素粒子物理学 では
さまざまな #対称性 を表わす
#リー代数 が活躍するが，
#共形場理論 においては
#ビラソロ代数 が
より「#支配的」な役割を果たす
と言ってもよいであろう。』

#代数学の知識

#ホップ代数 (Hopf algebra)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#代数トポロジー の研究から生まれた概念.
ドイツの数学者Heinz Hopfにちなんだ名称.

積の双対概念として #余積 などの構造をもつ.
#群 や #リー代数 をまとめて扱うことができる.

ホップ代数の重要な例が #量子群.

＜#代数学の参考書＞

「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988)

p29より引用:
『いまの #代数学 では
色々な #環 の事を
#代数(algebra)ともよぶ.
･#結合代数
･#可換代数
･#リー代数
という具合にである.
つまり
　「#代数学とは環の研究である」
という #テーゼ が
立っているわけだ.』

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原)
https://www.hanmoto.com/bd/isb...

前書きより引用:
『#ビラソロ代数 は，
#弦理論 の #研究 を通じ
新しく #発見 された
#リー代数.
2次元の #臨界現象 は
#共形場 の #理論 によって
ほぼ #完全 に解かれた
と言ってよいであろう.』

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数 原著第2版」(ジョージァイ2010)

p1「なぜ群論か」より:
『読者にこの本から
得てほしいと期待する事は，
特に #量子力学 の学習時
#労力 を軽減する道具として
#群の表現 を使うために十分なだけの
#群 と #リー代数 と
その #表現 の理論.』

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(岩波書店1996吉川)

前書きより:
『8章以下では
一般の #連続群 について
それぞれの #群 の
#リー代数 の #表現 を求める
という手続きをとる。
#リー群 または
リー代数の表現は
#数理物理学 はもちろん
#原子核･#素粒子物理学 にも
広く #応用…』

＜#素粒子と原子核の参考書＞

「弦とブレーン」(朝倉書店2017細道)

p114より引用:
『#ゲージ場 の
#ゲージ不変 な #運動項
ℒ_YM に基づく
#ゲージ場の理論 は
#ヤン・ミルズ理論 と呼ばれ，
任意の #コンパクトリー群 について
定義でき，
ゲージ場は
対応する #リー代数 に
値をとる。』

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(1996吉川)

前書きより:
『物体を
ある #軸 の周りに
#有限角度 だけ
#回転 する事は，
その軸の周りの
#微小角度回転 の
#積み重ね で表せる.
その #微小回転 を表わすのが
#リー代数 である.
リー代数の #表現 を求め，
有限角度の
#回転群 の表現を…』

＜#代数学の参考書＞

「3次元回転
パラメータ計算とリー代数による最適化」(2019金谷)

『まず解が
解析的に得られる場合を示し，
次に一般の場合の数値探索法として，
#微小回転 が #リー代数 を成す
という性質を用いた
「リー代数の方法」を定式化する.
例としてコンピュータビジョン…』

＜#代数学の参考書＞

「リー代数と素粒子論」
(裳華房1983竹内)

前書きより
『過去10年間に
#大統一理論 で #リー代数 が
用いられるようになって
事情が一変した.
10年前は #物理学者 が
#ウェイト について語る
という事は無かったが
今はその専門では多くの場合
ウェイトが用いられる.』

＜#代数学の参考書＞

パリティ物理学コース
「群と物理」(丸善1992佐藤)

前書きより:
『#群論 の全分野を
#網羅的 には扱わず，
#量子力学 や #ゲージ理論 で重要な
#リー群 と #リー代数 に
#重点 を置いて解説.
#素粒子物理 やゲージ理論への
入門的解説と
リー群の #応用 についても…』

＜#代数学の参考書＞

「リー代数と素粒子論」
(裳華房1983竹内)

前書きより:
『#リー代数 は
#角運動量 の例からもわかるように
#物理学者 には
なじみの深い概念。
このためか
リー代数がリー代数として
意識されることがかえって少なく
#リー群 と混同して
考えられることが多かった。』

＜#代数学の参考書＞

SGCライブラリ
「物理のためのリー群とリー代数」(2008)

前書きより:
『#量子力学 や #素粒子論 への
#応用 を念頭におくならば
SU(2)やSU(3)といった #群 の
#個別 の解説を避ける事はできない.
一方で将来の学習に備えるには
#リー群 や #リー代数 の #一般論 も…』

＜#代数学の参考書＞

「3次元回転
パラメータ計算とリー代数による最適化」
(共立出版2019金谷)

出版社による公式ページ
https://www.kyoritsu-pub.co.jp...
・正誤表あり。
・前書きと目次を読める。

『#位相空間，#多様体，
#リー群，#リー代数 なども取り上げる。
#章末 に #問題 も #収録。』

＜#代数学の参考書＞

「リー代数と素粒子論」(裳華房1983竹内)
https://www.yodobashi.com/prod...

前書きより:
『この本は
#大統一理論 に用いられる
#リー代数 の
#数学的 理論の
#入門 を目的としたものである.
本書は，
大統一理論に必要なものの
ちょうど #準備 になるところで
終わっている.』

＜#代数学の参考書＞

「リー代数と素粒子論」
(裳華房1983竹内)

▶5章　大統一理論
数学から物理学へ
ゲージ理論
Higgsモデル
Glashow - Weinberg - Salamモデル
SU(5)モデル

「#リー代数 は #数学 の
#重要 な一分野であると共に，
#物理学者 にとっても
なじみの深い #概念 でもある.」