#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

＜#代数学の参考書＞

「群論への30講」(朝倉書店1989志賀)
https://www.yodobashi.com/prod...

前書きより:
『私は，むしろ
#群 が他のものへ
働く時に示す
#ほとばしり出る ような
#動的 な #躍動感 の中に，
#一般の人 が
群に #興味 をもつ
#最初 の #動機 が隠されている
のではないかと思った.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p21より:
『#任意 の #群 Gは
そこに #離散位相 を与えれば
#位相群 である.
このように離散位相を持つ位相群を
#離散群 という.
位相群では T_1 #分離公理 を
仮定しているから
有限個の元からなる位相群は
必ず離散群である.』

#群論の知識

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#シローの定理 その2:

「素数 p を固定した時，
#有限群 G の全てのシロー p-部分群は
互いに #共役 である
(G内の #共役変換 を通して #同型 である).」

H と K が
#群 G のシロー p-部分群であれば，
g^{-1}Hg＝K なる G の元 g が存在.

#代数系の初歩 18

Q.
#群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
0を含む正負すべての整数が出るような
特殊なサイコロを考える.

#単位元 を持つので
サイコロの目に0がある.
(0進む=動かない=1回休み)

#逆元 を持つので
+2進んだら
-2で戻るなど後退(バック)も可能.

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 16

Q.
マグマ
半群
モノイド
群
を順に定義

A.
集合が #内算法 を持てば
#マグマ

マグマに #結合法則 を課すと
#半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ)

半群に #単位元 の存在を課すと
#モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ)

モノイドに #逆元 の存在を課すと
#群

＜#代数学の参考書＞

共立数学講座18「群とその表現」
https://www.amazon.co.jp/dp/B0...

・出版年: 1967年
・出版社: 共立出版
・著者: 服部昭

『本書のテーマは #群 とその表現で
特に #表現論 の解説を主眼としている.
対象を #有限群 の通常表現に絞り
#群環 の媒介を重んずる扱い方で述べた.』

#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?

#代数系の初歩 13

#半群(semigroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・各元が #逆元 を持つとは限らない点と
#単位元 も無いかもしれない点で
#群 と異なる.

・台集合が有限集合である半群:
有限半群 (finite semigroup)

・台集合が無限集合である半群:
無限半群 (infinite semigroup)

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
3 / 16

群論01 #群 の定義〜群の判定と代数の議論の仕方に慣れよう〜
https://www.youtube.com/watch?...
57:24

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#代数系の初歩 12

#結合法則(associative law)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

結合性(associative property, associativity):
結合律，結合則.

一部の #二項演算 が持つ性質.
被演算子の並びが変わらない限り
全体の演算結果に影響を与えない.

#群，#モノイド，#半群 の公理の一つ.

#代数系の初歩 11

Q.
#半群，#モノイド とは.

A.
#群 の #公理 のうち
#結合法則 を満たすものが半群.
#単位元 や
#逆元 の存在は要請しない.

群の公理のうち
結合法則と，
単位元の存在を満たすものがモノイド.
逆元の存在は要請しない.

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(岩波書店1996吉川)

前書きより:
『8章以下では
一般の #連続群 について
それぞれの #群 の
#リー代数 の #表現 を求める
という手続きをとる。
#リー群 または
リー代数の表現は
#数理物理学 はもちろん
#原子核･#素粒子物理学 にも
広く #応用…』

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p22より:
『「#元 の特殊な
#具体性 に関わりなく
#群 が #定義 される事」を
#ケイリー が示したのは
#1854年 以後の事.
群の本質的 #構造 は
ケイリーが示したように，もっぱら
元の対に対する #二項演算 を
規定する手段に依存.』

#群論の知識

Q.
「シロー p-部分群」を表す記号

A.
#群 G と素数 p に対し，
「G の全てのシロー p-部分群の集合」
を
Syl_p ( G )
と書く.

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p20より引用:
『#集合 Gが次の条件を満たす時
Gを #位相群 という.

① Gは #群 である.
② Gは T_1 空間である. ※
③ Gの #群演算 は #連続 である.』

※p16より:
T_1 #分離公理 をみたす #位相空間 を T_1 空間という.

#代数系の初歩 4

Q.
#代数学 において
#二項演算 とは何か.

A.
ある集合 G の
2つの元 x, y を引数にとって，
新たな1つの元 z を生み出す操作のこと.

#群 の2元に関する演算 xy
#加法群 の2元に関する演算 x＋y
などは二項演算である.

#群論の知識

Q.
「シロー p-部分群」とは.

A.
#群 G の #部分群 が
下記の条件を満たせば
「シロー p-部分群」
(Sylow p-subgroup).

① p-群である.
(任意の元の #位数 が素数 p のべき)

② G の他のどんな p-部分群 の
#真部分群 でもない.

つまり「G の極大 p-部分群」のこと.

#代数系の初歩 3

代数的構造
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #代数的構造(algebraic structure)
#ブルバキ が導入した概念.

・代数的構造の具体例は
#群
#環
#体 など.

・代数的構造を持つ集合は
#代数系(algebraic system).

・代数系を研究するのが #代数学.