#群論入門_正規部分群編 28

#組成列 composition series
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 などの #代数的構造 を
より単純な構造の #単純群 に分解する.

・組成列は
「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」.
極大とは
「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」
という意.

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(1996吉川)

p5より
『空間の性質に関連しなくても
物理系の構成要素の数により
高次の #群 が応用される.
#量子力学系 では
その #力学系 特有の #対称性 が
隠れて存在している場合もある.
これらの事情で一般の
#コンパクト単純リー群 の #表現論 を…』

#群論入門_正規部分群編 24

Q.
#正規列 のように
「隣りあう2項間」が
#正規部分群 でも，
3項間だと
正規部分群の関係が言えない.
どういう事？

A.
「正規部分群の正規部分群は，
もとの #群 の正規部分群には
ならない場合がある.」

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

＜#代数学の参考書＞

「群論への30講」(朝倉書店1989志賀)

前書きより引用:
『#群 の #動的 な働きの中から
#静的 な形が抽出されてくる
この #過程 の中で，
動と静の微妙な
#対照 と #調和 が綾※をなし，
そこに群の #生命感 が息づいている.』

※綾(アヤ)をなす:
互い違いになること.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)

p68より引用:
『要約しておこう。
#群　　　　#グラフ
#元　　　　#頂点
#生成元　　同色の #有向線分
#語　　　　#道
元の #乗法　　　　道の #継続
Ｉに対する語　　　閉じた道
rx＝sの #可解性　　グラフ網は #連結
』

#群論入門_正規部分群編 21

Q.
群Gの #正規列 とは

A.
#群 Gの #部分群 の列で
G ＝ H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃ … ⊃ H_n ＝{e}
のように
有限の n において
末尾が #単位群 になるものを考える.

ここで各1≦i≦nにおいて
H_i が
H_{i-1} の #正規部分群 ならば
この列をGの正規列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 20

#単純群 (simple group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・「自明でない #正規部分群」
(＝それ自身と #単位群 {e} 以外の正規部分群)
を持たず，
またそれ自身も単位群ではない #群 のこと.

・この頁は熟読しましょう.

#群論入門_正規部分群編 19

Q.
#単純群 とは.

A.
#正規部分群 として
「#自明な正規部分群」のみを持つような
#群 G のことを
単純群という.

つまり，
(1) 群 G そのもの
(2) #単位群 {e}
以外の正規部分群(＝「非自明な正規部分群」)
を持たないような群のこと.

#群論の知識

Q.
数学において一般的に
#表現 とは

A.
表現 (representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「ある体系に対して
それを類型的に書き表すことのできる
数理モデルを構成すること」
またはそのモデルそのもの.

例:
・ #線形写像 の #行列 による表現
・ #群 の #置換 による表現

#群論入門_正規部分群編 18

Q.
「自明な #正規部分群」とは.

A.
#群 G の部分集合のうち
下記の２つは，
(Gの「#自明な部分群」であると同時に)
Gの「#自明な正規部分群」でもある.

(1)
群 G そのもの.

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}.

#群論入門_正規部分群編 14

#正規部分群 (normal subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 の任意の元による
#内部自己同型写像(#共役変換)のもとで
不変な #部分群 のこと.

正規部分群の重要性を
最初に明らかにしたのは，
#エヴァリスト・ガロア である.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
101

#群論：4個の #共役類 をもつ #群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論入門_正規部分群編 12

Q.
#正規部分群 とは.

A.
#群 G の #部分群 N について，
N の任意の元 n が
「G の任意の元 g による #共役変換」の結果
ふたたび N に属する時
N を G の正規部分群と呼び
G⊳N と表記する.

論理記号で表すと
∀n∈N, ∀g∈G, (g^{-1} n g)∈N
⇔
G⊳N.

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
12 / 16

群論10 #剰余群 〜 #正規部分群 を使って #剰余類 の #群 をつくろう〜
https://www.youtube.com/watch?...
14:12

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#群論入門_正規部分群編 11

Q.
#群論 において
#共役類 とは.

A.
共役類 (conjugacy class)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 G 内のある元 x の
#共役元 すべてがなす集合を
元 x の共役類と呼び，
x^G
＝ { x^g | g∈G }
＝ { g^{-1} x g | g∈G }
と表記する.

#群論の知識

#作用 を持つ #群(group with operators)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

名称:
・集合Ωの作用を持つ群
・Ω-群
・ #作用域 Ωを持つ群

Ω:
作用域(operator domain)

作用域Ωの元:
G上の #作用素(operator)，
Gの #相似変換(homotheties)

※「群作用を持つ集合」とは別物なので注意.

＜#代数学の参考書＞

「リー群の話」(1982佐武)

前書きより
『#リー群 は #抽象群論 が
展開される遥か以前から
#変換群 として
ユークリッド以来の #幾何学 や
#微分方程式論 に
影の役者として登場していた.
#群 や #多様体 の概念は
この #幾何学的変換群 を
1つの母体として #抽象化』

#群論入門_正規部分群編 10

Q.
#群 Gが #アーベル群 なら
G内の #共役変換 は
どんな意味を持つか.

A.
Gの2要素x, aに対し
x の共役変換は
f(x)
＝ a^{-1} x a
G内の任意の2元に
#交換法則 が成り立つので
＝ a^{-1} a x
＝ x

つまり，可換群では
任意の共役変換は #恒等変換.

#群論入門_正規部分群編 9

Q.
#群 G内の元aを1つ固定し，
G内の任意の元xの #共役元 を返す #写像
f(x)＝a^{-1} x a
が，Gにおける
#内部自己同型写像(#共役変換).

f の写像としての性質を
どう表記できるか?

A.
Gの元 x を引数にとり
Gの元 a^{-1} x a を返すので
f : G→G
と書ける.

＜#代数学の参考書＞

「群と位相」(1971横田)
https://bookmeter.com/books/25...
･よく見る #行列群 をひたすら深く掘り下げる
･命題や補題が細分化され #行間 が狭い. 相当親切な構成
･#位相幾何 で現れる基本的図形を #位相 や #群 から見てゆく. #古典群 を #幾何学 として捉えられる事が分かる