#群論入門_正規部分群編 67
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このハッシュタグの復習：

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 64

英語名称のおさらい・続

#正規列(正規鎖) subnormal series
#組成列 composition series
#主組成列 normal series

#交換子 commutator

#交換子群 commutator group
#交換子部分群 commutator subgroup

#導来群 derived group
#導来部分群 derived subgroup

#群論入門_正規部分群編 30

Q.
#組成列 と
#主組成列 の違い

A.
群Gの #部分群 の列が
G＝H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0 ＝ {1}
なる #正規列 かつ組成列である場合
各H_iがGの #正規部分群 である事は要請されない.

各H_iがGの正規部分群なら
この列をGの主組成列(normal series)と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 28

#組成列 composition series
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 などの #代数的構造 を
より単純な構造の #単純群 に分解する.

・組成列は
「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」.
極大とは
「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」
という意.

#群論入門_正規部分群編 27

Q.
群Gの #組成列 とは.

A.
群Gのある #正規列
G ＝ H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0 ＝ {1}
において
H_0, H_1, …, H_nが全て異なり
かつ
どの H_{i-1} と H_i の間にも
これらと異なる H_{i-1} の #正規部分群 が
存在しなければ，
この列をGの組成列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 24

Q.
#正規列 のように
「隣りあう2項間」が
#正規部分群 でも，
3項間だと
正規部分群の関係が言えない.
どういう事？

A.
「正規部分群の正規部分群は，
もとの #群 の正規部分群には
ならない場合がある.」

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

#群論入門_正規部分群編 23

Q.
G = A_n ⊳ A_{n-1} ⊳ … ⊳ A_0 = {1}

群の #正規列 は，あくまでも
「隣りあう2項間に」★
#正規部分群 の関係を要請するが…

なぜ，わざわざ
★のように限定して
但し書きを付けるのか？

A.
3項間だと，正規部分群の関係が
必ずしも成り立たないから.

#群論入門_正規部分群編 22

群の #正規列:
subnormal series
https://en.wikipedia.org/wiki/...

G ＝ A_n ⊳ A_{n-1} ⊳ … ⊳ A_0 ＝ {1}
隣りあう2項間に
#正規部分群 の関係を要請する.

呼び方：
・正規列
・連正規列
・正規鎖

#群論入門_正規部分群編 21

Q.
群Gの #正規列 とは

A.
#群 Gの #部分群 の列で
G ＝ H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃ … ⊃ H_n ＝{e}
のように
有限の n において
末尾が #単位群 になるものを考える.

ここで各1≦i≦nにおいて
H_i が
H_{i-1} の #正規部分群 ならば
この列をGの正規列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 1
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このタグでは
#部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに
下記の事項を解説しますぞ！

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群