#群論の知識

#類関数(class function)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・中心函数(central function)，中心的な関数とも

・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で)
値が不変となる関数.
#群 G の任意の元s,tに対し
f( s^{-1} t s)＝f(t)

・複素数値の類函数は
#コンパクト群 の #表現論 で重要

#群論入門_正規部分群編 63

英語名称のおさらい

#共役(共軛) conjugate
#共役元 conjugate element

#共役変換 conjugation
#相似変換 similarity transformation
#内部自己同型写像 inner automorphism

#共役類 conjugacy class

#正規部分群 normal subgroup
#単純群 simple group

#群論入門_正規部分群編 45

Q.
#群 G のある元a, b, tについて
t^{-1} [ a, b ] t
＝[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]
↑
どういう意味?

A.
「#交換子 の #共役元 は
共役元の交換子である」.

t^{-1}とtではさむ #共役変換 が
交換子の記号の内側に入り込み
2元a,bにそれぞれはたらくように見える.

#群論入門_正規部分群編 11

Q.
#群論 において
#共役類 とは.

A.
共役類 (conjugacy class)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 G 内のある元 x の
#共役元 すべてがなす集合を
元 x の共役類と呼び，
x^G
＝ { x^g | g∈G }
＝ { g^{-1} x g | g∈G }
と表記する.

#群論入門_正規部分群編 9

Q.
#群 G内の元aを1つ固定し，
G内の任意の元xの #共役元 を返す #写像
f(x)＝a^{-1} x a
が，Gにおける
#内部自己同型写像(#共役変換).

f の写像としての性質を
どう表記できるか?

A.
Gの元 x を引数にとり
Gの元 a^{-1} x a を返すので
f : G→G
と書ける.

#群論入門_正規部分群編 6

Q.
#群論 における「#共役変換」とは.

A.
#群 G の2要素 x, a がある時，
x から
x の #共役元 として
y ＝ f(x) ＝ a^{-1} x a
という G の元 y を得る変換のことを
「x の a による共役変換」という.

この時，x と y は #共役 である.

#群論入門_正規部分群編 3

Q.
#群 G のある元 x について，
x の #共役元 とは.

A.
群 G のある元 y について，
もし G に適当な元 a が存在し
y ＝ a^{-1} x a
の形に書けるならば
y を「x の共役元」(conjugate element) と呼ぶ.

この時，x と y は #共役 である.