#群論の知識

群の #表現 (group representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・抽象的な #群 Gの元gに対し
具体的な #線形空間 Vの
#正則 な #線形変換 としての実現を与える
#準同型写像 π: G→GL(V) のこと.

・群Gから
線形空間V上の正則な線形変換のつくる群への
準同型写像.

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
23 / 86

【線形代数#23】演習③ ～ #行列式 ・ #余因子行列 ・ #正則性 の判定～
https://www.youtube.com/watch?...
12:38

#正則 #行列
#数学 #大学数学

#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
6 / 22

【第５弾】#C1級 関数かつ #コーシー・リーマンの方程式 ならば #正則 であることの証明！
https://www.youtube.com/watch?...
15:23

#コーシー・リーマン方程式
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学

#たった10ツイートでわかる線形代数
3/10

Q.
#行列式 |A|=detA
1) 意味
2) |A|≠0時のAx=b
3) |A|=0時のAx=0

A.
1)
#逆行列 や非自明解の存在判別式.
n本のベクトルが張る立体の体積

2)
|A|≠0
⇔逆行列A^{-1}が存在.Aは #正則
⇔Ax=bは唯一解を持つ

3)
|A|=0
⇔Ax=0は非自明解x≠0を持つ

#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
5 / 22

【第４弾】#複素関数 の #微分 ･ #正則 と #コーシー・リーマンの方程式
https://www.youtube.com/watch?...
16:24

#コーシー・リーマン方程式 #複素関数
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論入門」(2006山田)
https://www.kinokuniya.co.jp/f...

p172より引用:
『#正則 あるいは
#反正則 部分のみに
#依存 する
(#モノドロミー のある)
#相関関数 は，
#物理的相関関数 を
#構成 するための
#補助的 な #構成要素 であり
これを #共形ブロック とよぶ.』

#群論の初歩 70

Q.
SL( n, V ) とは

A.
#特殊線形群(Special Linear group)を表す.

#行列式 が1であるような
#正則 な
n 次元正方行列全体の集合である.

SL( n, V ) ＝ { A ∈ GL( n, V ) | det A＝1}

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論入門」(培風館2006山田)

p172より:
『#物理的 な #相関関数 を得るには
反正則座標 z̄ に依存する部分も
同時に考察すべきで，
#正則 部分と #反正則 部分の
#双線形形式 として
#モノドロミー不変 となるような
#物理的相関関数 を求める必要がある。』

#群論の初歩 55

Q.
n次 #正則行列 全体GL(n)は
#行列 の和について #群 か?

A.
加法の #単位元 は #零行列 Oで
#正則 ではない.
GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので
群ではない.

またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが
A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ
#二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 51

Q.
GL(n,V) 上で
行列の積という #二項演算 が
#閉じている ことを示せ

A.
#正則行列 A, Bの積 AB＝M が
#正則 である事を示す.

Mに左から
M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると
M'M＝E
Mに右から M' をかけると
MM'＝E

∴E＝M'M＝MM' で
M の逆行列は M' だから M は正則

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

#複素解析を概観 27

#留数定理 (residue theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

f(z) がD内に #孤立特異点 を持ち，
それ以外の点で #正則 であれば

∲_{∂D} f(z) dz ＝ 2πi Σ Res[ f(z) ]

ただし #周回積分 は #偏角 が正の向きに実行する。

#たった10ツイートでわかる線形代数
3/10

Q.
#行列式 |A|=detA
1) 意味
2) |A|≠0時のAx=b
3) |A|=0時のAx=0

A.
1)
#逆行列 や非自明解の存在判別式.
n本のベクトルが張る立体の体積

2)
|A|≠0
⇔逆行列A^{-1}が存在.Aは #正則
⇔Ax=bは唯一解を持つ

3)
|A|=0
⇔Ax=0は非自明解x≠0を持つ

#複素解析を概観 27

#留数定理 (residue theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

f(z) がD内に #孤立特異点 を持ち，
それ以外の点で #正則 であれば

∲_{∂D} f(z) dz ＝ 2πi Σ Res[ f(z) ]

ただし #周回積分 は #偏角 が正の向きに実行する。

#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz

#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz