#群論入門_剰余類編 39

Q.
集合Xのある #分割(#類別)において
「aとbは同じ #類 に属する」という
#同値関係「a～b」を定める際
「～」が
#同値律 の3定義を満たす事を示せ

A.
元a,bが類Cに属する時
a～a
a～b⇒b～a
a～b,b～c⇒cもCに属するのでa～c
∴「～」は同値律の3定義を満たす.

#群論入門_剰余類編 37

Q.
集合 X を
#二項関係「～」による #同値類 で #類別 し
#同値分割 をつくる時，
#商集合 をどのような記号で表記するか

A.
"Xの「～」による商集合" を
X / ～
と表記する.

これは #同値類 の集合だから
X / ～ ＝ { C_{x} | x∈X }
と書ける.

#群論入門_剰余類編 35

Q.
「集合は #同値類 によって #類別 できる」
かみ砕いて言い換えると

A.
ある #二項関係 がある時
その二項関係が #同値律 の3定義を満たしていれば
その二項関係を使って
集合を #同値類 にわけることができ
それらの同値類で
もとの集合を過不足なく分割できる.

#群論入門_剰余類編 34

Q.
#同値分割 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
がある時，
X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ …
という #類別(#分割)を
#二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ.

この類別における #類 は
各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 33

Q.
集合 X の
異なる #同値類 全ての集合を
C_{a_1}, C_{a_2}, … とする.

X ＝ C_{a_1} ∪ C_{a_2} ∪ …　①
が，
集合Xの #類別(#分割)である事を示せ.

A.
各iについてC_{a_i}≠∅.
各i≠jについてC_{a_i}∩C_{a_j}＝∅.
Xのどの元も各C_iのいずれかに属する.

#群論入門_剰余類編 15

・(#類別 の #類 の)#代表元:
representative

・(類別の)#完全代表系:
complete system of representatives

Transversal (combinatorics)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
完全代表系を
system of distinct representatives; SDR
とも表記
※意味合いは異なる場合がある

#群論入門_剰余類編 14

Q.
集合Aの #類別(#分割)
A＝A_1＋A_2＋…
の #完全代表系 とは

A.
各 #類 A_i の #代表元 を
1つずつ任意に選び a_i とし，
代表元の集合
{ a_1, a_2, … } を
この類別の完全代表系と呼ぶ.

代表元の選び方は任意性があるので
完全代表系の作り方も任意性がある.

#群論入門_剰余類編 12

Q.
#類別(#分割)において
#類 の #代表元 の選び方に
任意性を仮定してよいのはなぜ?

A.
類別において類同士に共通部分は無く，
どんな代表元の選び方をしても
1つの代表元は必ず1つの類のみに属し，
ある代表元がどの類を指す(代表する)か
重複や混同の恐れはない.

#群論入門_剰余類編 11

Q.
集合 A の #類別(#分割)
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …
において，
類 A_i の #代表元 とは

A.
ある1つの #類 A_i 内で
自由に選んだ1つの元 a_i を考える時，
元 a_i を
類 A_i の代表元という.

1つの類の中で
代表元の選び方は任意性がある.
(どれを選んでもよい)

#群論入門_剰余類編 8

Q.
ある集合Aの
#直和分割(#直和分解)とは.

A.
集合Aの #類別(#分割)
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …　①
において，
①の式を
A ＝ ∪_i (A_i)　②
と表記し，
この類別における全ての #類 A_i の集合を
「Aの直和分割」，
②の式を A_i の #直和 と呼ぶ.

#群論入門_剰余類編 7

類別
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合Sの
空集合を含まない部分集合族Mで，
Mのどの2つの相異なる集合も交わりを持たず
Mの和集合がS全体に一致する時，
#集合族 Mを
集合Sの
・ #類別，分類 (classification) あるいは
・ #分割(partition)
という.

#群論入門_剰余類編 4

Q.
1)
2つの集合 A, B が
#互いに素 とは.

2)
3つ以上の集合どうしが
互いに素とは.

A.
1)
A, B が共通の元を持たないこと.
A ∩ B ＝ ∅

2)
どの2つの集合を選んでも
常に共通の元を持たないこと.

集合の #類別(#分割)において
#類 どうしは互いに素.

#群論入門_剰余類編 3

Q.
集合Aの #類別(#分割)が
A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ …
である時，

1) この類別を＋記号で書きなおせ
2) 各 A_i を何と呼ぶか

A.
1)
A の類別を，＋の記号を使い
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …
と書く場合がある.

2)
類別の式に現れる各 A_i を
この類別の #類 という.

#群論入門_剰余類編 2

Q.
集合Aの #類別(#分割)とは

A.
Aの部分集合 A_1, A_2, … が
下記3つを満たせば
①をAの類別という.

1)
Aはそれらの和集合
A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ …　①

2)
A_i 同士に共通部分が無い
i≠j → A_i ∩ A_j ＝ ∅

3)
どの A_i も空集合でない
∀i, A_i ≠ ∅

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
9 / 16

群論07 #対称群 S3の #剰余類
〜 #類別 の具体計算，
#代表元 が取替できること〜
https://www.youtube.com/watch?...
32:49

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数