#群論入門_剰余類編 47
Q.
#群 Gの2元x, gと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hgに対し
x ∈ Hg の時
xとgの間に
xg^{-1} ∈ H ①
gx^{-1} ∈ H ②
が成り立つ.
①②をまとめて
どう言い表せるか
A.
「群Gの2元x, gが
部分群Hを法として
#左合同 である」と言い
x≡g (mod H)
と表記する.
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Q.
#群 Gの2元x, gと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hgに対し
x ∈ Hg の時
xとgの間に
xg^{-1} ∈ H ①
gx^{-1} ∈ H ②
が成り立つ.
①②をまとめて
どう言い表せるか
A.
「群Gの2元x, gが
部分群Hを法として
#左合同 である」と言い
x≡g (mod H)
と表記する.
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Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群 とする.
GのHによるgを含む #左剰余類 は
Hg ＝ { hg | h∈H }
である.
Gのある元xが
Hgに属する時
xとgの間に成り立つ関係式を2つ.
A.
x ∈Hg
⇒ xg^{-1} ∈H
また左辺＝yとおくと
Hは群なので
y^{-1}＝gx^{-1} ∈H
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Q.
#群 Gのある #部分群 H
およびGの #単位元 e について，
GのHによるeを含む #左剰余類 を求めよ.
A.
e を含む左剰余類は
H e
と表記でき，具体的には
H e
＝ { he | h ∈ H }
＝ { h | h ∈ H }
＝H
よって，部分群 H そのものである.
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Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群 とする.
下記の記法で表される集合を
それぞれ何と呼ぶか.
(1)
Hg
(2)
gH
A.
(1)
GのHによるgを含む #左剰余類.
(2)
GのHによるgを含む #右剰余類.
部分群が左右どちらからかかっているかで
左右を呼び分ける.
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