#群論入門_剰余類編 33
Q.
集合 X の
異なる #同値類 全ての集合を
C_{a_1}, C_{a_2}, … とする.
X ＝ C_{a_1} ∪ C_{a_2} ∪ … ①
が，
集合Xの #類別(#分割)である事を示せ.
A.
各iについてC_{a_i}≠∅.
各i≠jについてC_{a_i}∩C_{a_j}＝∅.
Xのどの元も各C_iのいずれかに属する.
@gunron-tan.bsky.social
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 33
Q.
集合 X の
異なる #同値類 全ての集合を
C_{a_1}, C_{a_2}, … とする.
X ＝ C_{a_1} ∪ C_{a_2} ∪ … ①
が，
集合Xの #類別(#分割)である事を示せ.
A.
各iについてC_{a_i}≠∅.
各i≠jについてC_{a_i}∩C_{a_j}＝∅.
Xのどの元も各C_iのいずれかに属する.
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 30
#同値類 (equivalence class)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
"ある集合 S の元が
#同値関係 として定式化される
#同値 の概念を持つとき，
集合 S を同値類たちに
自然に #分割 できる."
@gunron-tan.bsky.social@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 13
集合の #分割 (Partition of a set)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ある集合X全体を
互いに重ならない部分(ブロック，セル)に分けること
・集合Xの分割は
『「Xの空でない部分集合」(＝#類)の集合』.
Xの個々の元xは
必ず1つの部分集合(＝類)にのみ属している.
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 12
Q.
#類別(#分割)において
#類 の #代表元 の選び方に
任意性を仮定してよいのはなぜ?
A.
類別において類同士に共通部分は無く，
どんな代表元の選び方をしても
1つの代表元は必ず1つの類のみに属し，
ある代表元がどの類を指す(代表する)か
重複や混同の恐れはない.
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 11
Q.
集合 A の #類別(#分割)
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …
において，
類 A_i の #代表元 とは
A.
ある1つの #類 A_i 内で
自由に選んだ1つの元 a_i を考える時，
元 a_i を
類 A_i の代表元という.
1つの類の中で
代表元の選び方は任意性がある.
(どれを選んでもよい)
@gunron-tan.bsky.social@gunron-tan.bsky.social類別
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
集合Sの
空集合を含まない部分集合族Mで，
Mのどの2つの相異なる集合も交わりを持たず
Mの和集合がS全体に一致する時，
#集合族 Mを
集合Sの
・ #類別，分類 (classification) あるいは
・ #分割(partition)
という.
@gunron-tan.bsky.socialQ.
1)
2つの集合 A, B が
#互いに素 とは.
2)
3つ以上の集合どうしが
互いに素とは.
A.
1)
A, B が共通の元を持たないこと.
A ∩ B ＝ ∅
2)
どの2つの集合を選んでも
常に共通の元を持たないこと.
@gunron-tan.bsky.social@gunron-tan.bsky.socialA.
Aの部分集合 A_1, A_2, … が
下記3つを満たせば
①をAの類別という.
1)
Aはそれらの和集合
A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ … ①
2)
A_i 同士に共通部分が無い
i≠j → A_i ∩ A_j ＝ ∅
3)
どの A_i も空集合でない
∀i, A_i ≠ ∅
@gunron-tan.bsky.social
@particle-ph-tan.bsky.social