#群論入門_剰余類編 40

Q.

(1)
集合X内に
何らかの #同値関係 が存在する

(2)
集合Xを #類 で #類別(#分割)できる

(1)⇔(2) を示せ.

A.
1⇒2:
同値関係があれば
#同値類 で類別できる事を証明済.

2⇒1:
類別がある時
同じ類に属する事を #同値 とみなせば
同値関係となる事を証明済.

#群論入門_剰余類編 38

https://en.wikipedia.org/wiki/...

This partition—the set of equivalence classes—is called the quotient set or the quotient space of S by ～
and is denoted by S / ～ .

#同値分割 に用いる #同値類 の集合は
Sの～による #商集合(商空間)と呼ばれ，
S/～ と書く.

#群論入門_剰余類編 37

Q.
集合 X を
#二項関係「～」による #同値類 で #類別 し
#同値分割 をつくる時，
#商集合 をどのような記号で表記するか

A.
"Xの「～」による商集合" を
X / ～
と表記する.

これは #同値類 の集合だから
X / ～ ＝ { C_{x} | x∈X }
と書ける.

#群論入門_剰余類編 36

Q.
#同値分割 における
#商集合 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
を使い
X＝C_{a_1}＋C_{a_2}＋…
という #同値分割 を考える時，
この同値類の集合
{ C_{a_1}, C_{a_2}, … }
を
Xの「～」による商集合という.

#群論入門_剰余類編 35

Q.
「集合は #同値類 によって #類別 できる」
かみ砕いて言い換えると

A.
ある #二項関係 がある時
その二項関係が #同値律 の3定義を満たしていれば
その二項関係を使って
集合を #同値類 にわけることができ
それらの同値類で
もとの集合を過不足なく分割できる.

#群論入門_剰余類編 34

Q.
#同値分割 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
がある時，
X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ …
という #類別(#分割)を
#二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ.

この類別における #類 は
各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 33

Q.
集合 X の
異なる #同値類 全ての集合を
C_{a_1}, C_{a_2}, … とする.

X ＝ C_{a_1} ∪ C_{a_2} ∪ …　①
が，
集合Xの #類別(#分割)である事を示せ.

A.
各iについてC_{a_i}≠∅.
各i≠jについてC_{a_i}∩C_{a_j}＝∅.
Xのどの元も各C_iのいずれかに属する.

#群論入門_剰余類編 32

Q.
集合 X 内の #同値類 C_a, C_bが
C_a ≠ C_b であれば
C_a，C_b には共通元が存在しない事を示せ.

A.
「同値類 C_a, C_b に
共通元 z が存在すれば
C_a ＝ C_b である」
を既に示してあるので，
対偶を取って
「C_a ≠ C_b ならば
C_a ∩ C_b ＝ ∅」.

#群論入門_剰余類編 31

Q.
集合X内の #同値類 C_a, C_bに
共通元zが存在すれば
C_a＝C_bである事を示せ

A.
C_a, C_bが共通元zを持つと
a～zかつb～z ⇒ a～b.

C_aの任意の元xは
x～a～bよりx∈C_b ⇒ C_a ⊂ C_b

C_bの任意の元yは
y～b～aよりy∈C_a ⇒ C_b ⊂ C_a

よってC_a ＝ C_b

#群論入門_剰余類編 30

#同値類 (equivalence class)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

"ある集合 S の元が
#同値関係 として定式化される
#同値 の概念を持つとき，
集合 S を同値類たちに
自然に #分割 できる."

#群論入門_剰余類編 29

Q.
#同値類 とは.

A.
集合 X 内で，
X のある1つの元 a と
互いに #同値関係 にある全ての元の集合を
a の同値類と呼び
C_a のように表記する.
C_a ＝ { x | x∈X, x～a }
※Cはclassの意

a と #同値 な元の集まりであり，
#反射律 により
a 自身を含む.

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理

#群論入門_正規部分群編 61

「5次方程式に #解の公式 が無い事」の
要になる概念が #可解群.

本来，可解群の導入には
① #対称群，#交代群
② #同値類，#剰余類
③ #剰余群
などの説明を要するが…

このタグの連ツイでは
①②③のいずれもふれず，
「#可解」を最短で
導入・解説してみた.

＜#素粒子と原子核の参考書＞

「弦とブレーン」 (朝倉書店2017細道)
https://honto.jp/netstore/pd-b...

p47より引用:
『#対称性 で互いに移り合う
#計量 の #同値類(#ゲージ軌道)
各々につき #代表元 を1つ選び，
代表元についてのみの
#積分 に留める。
この操作は #ゲージ固定 と呼ばれる。』

#代数学を独学できるYouTube動画

ヨビノリによる
「#代数学」シリーズ
5 / 10

【#大学数学】#群論 入門⑤#同値類
https://www.youtube.com/watch?...
17:38

#代数 #抽象代数学 #数学

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
5

#群論：#部分群 による #同値関係 と #同値類 の個数
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#代数学を独学できるYouTube動画

Masaki Kogaによる
「具体例で学ぶ #代数学《#群論》」シリーズ
14 / 21

#同値類 と #商集合
［具体例で学ぶ代数学《群論》No.13後編］
https://www.youtube.com/watch?...
23:14

#数学 #抽象代数学 #代数

#代数学を独学できるYouTube動画

Masaki Kogaによる
「具体例で学ぶ #代数学《#群論》」シリーズ
13 / 21

#同値類 と #商集合
［具体例で学ぶ代数学《群論》No.13前編］
https://www.youtube.com/watch?...
27:03

#数学 #抽象代数学 #代数