＜#代数学の参考書＞

「連続群論(上)」(1957ポントリャーギン)

序論より:
『多くの場合，その #群 を
#変換群 と考える必要はなく，
単に群に
#極限 の概念が
定義されているものとして
議論すればよいことが判って来た.
こうして，新しい数学の対象として
#位相群 という概念が生まれた.』

#群論の初歩 16

Q.
#群 G に対して
(1) #単位元 の存在
(2) #逆元 の存在
それぞれ論理記号で表記してみよう.

A.
(1)
∃e∈G s.t. (∀g∈G，ge＝eg＝g)
(2)
∀g∈G，∃h∈G s.t. hg＝gh＝e

↑
∀(すべての)と
∃(そんざい)の記号を置く場所が
(1)と(2)で異なる点に注意.

＜#代数学の参考書＞

「見える！群論入門」(日本評論社2017𦚰)
https://honto.jp/netstore/pd-b...

『大学の #抽象的 な
#数学 で活躍する，
#有望 な記述・表現方法である
「#群」の世界を #徹底図解!
#数字 の計算だけでは #物足りない.
そんなあなたに贈ります.
「#数学セミナー」連載を書籍化.』

#群論の初歩 15

Q.
#群 の公理で

(1) #単位元 の存在:
群Gの任意の元xに対し
xe＝ex＝x なる e が存在

(2) #逆元 の存在:
群Gの各元xに対し
xx'＝x'x＝e なる x' が存在

↑
微妙に言葉遣いが違うのはなぜ?

A.
単位元eは任意の要素に対しG内に1つだが
逆元は各要素に対し1つずつ存在

#群論の初歩 12

Q.
#群 の公理の
「#逆元 の存在」を説明せよ

A.
群Gの各元xに対し
x x^(-1) = x^(-1) x = e
を満たす元 x^(-1) が存在し
x^(-1) を x の逆元と呼ぶ.

これは
「ある操作には必ず
その操作を元に戻す"逆操作"がある」
ということ.

群の世界では「覆水盆に返る」.

＜#量子論の参考書＞

「量子論のための表現論」(共立出版2014林)

『本書は…
・初めに #量子論 の #基礎概念 を説明.
・次に一般の #群 の #表現論 を扱う.
・その後，量子論で重要となる #Lie群 と #Lie環 の表現論を解説.
・最後に #Bose量子系 を与える #Heisenberg表現 について扱う.』

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
19

番外編：#群 の #公理 を弱めてみよう
https://www.youtube.com/watch?...

#群論
#代数 #代数学

#群論の初歩 8

Q.
#群 の公理の
「 #単位元 の存在」を説明せよ.

A.
群Gの
任意の元 x について
e x＝ x e ＝ x
を満たす元 e が存在し
e を G の単位元と呼ぶ.

これはつまり
「何もしない演算」
(変化を生まない操作，#恒等変換)
を考慮に入れる，ということ.

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(岩波書店1996吉川)

前書きより:
『#物理学科 の学生を
対象にして行なった
#群論 の講義では，
最初にいくつかの
#群 の #例 を示し，
群の #概念 を
把握してもらった後に，
すぐに #表現論 に
入ることにしていた.
本書でもその方針を
採用している.』

#群論の知識

クラインの #四元群 (Klein four-group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#巡回群 でない，
#位数 が最小の #群」であり
V または V_4 ＝{ e, a, b, c } などと表記される.

※ハミルトンの #四元数 を #生成系 とする
#四元数群 とは別物.

#群論の初歩 4

Q.
#群 の公理の #結合法則 を説明せよ.

A.
群Gの
任意の3元 a, b, c について
(ab)c ＝ a(bc)

bを中心に考えると
「左右どちらの元とも合成が可能」ということ.

そして，b を
「左右どちらと合成しても
最終的な3元の演算結果は同じものを指す」
ということ.

#群論の初歩 3

Q.
#群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ

A.
演算の定義された集合において
1. #結合法則
2. #単位元 の存在
3. #逆元 の存在
が満たされていること.

※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は
群の3公理に含めない.
それは群以前に #マグマ の性質なので.

#群論の初歩 2

#群 (英 group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・最も基本的と見なされる #代数的構造 の1つ

・数学や物理学全般で
様々な枠組みを与えるため応用

・数学的対象 X から X への
「#自己同型 の集まり」の満たす性質を
代数的に抽象化.
この集まりは X の #対称性 を表現する

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

前書きより:
『#群論 は #数学 の
「非･#数量的」分科の1つ.
#群 の概念は
数学の発達において
比較的 #新しい が
きわめて #実り豊か で
･#代数方程式
･幾何学的 #変換
･#位相幾何
･#数論
の諸問題の探究において
有力な道具.』

#群論の知識

#四元数群(しげんすうぐん, quaternion group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ハミルトンの #四元数 i, j, k で #生成 される
#位数 8 の非可換 #群.

Q_8
＝ ‹ i, j, k | i^2 ＝ j^2 ＝ k^2 ＝ ijk ＝－1 ›
＝{ ±1, ±i, ±j, ±k }

#群論の初歩 1
↑
このタグでは
#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

#群論の知識

(#群論 で) #自由積 (free product)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

2つの #群 G, H から
新しい群 G∗H を構成する操作.

自由積 G∗H は
G と H をともに #部分群 として含む.

自由積において
元は G, H の縮約された #語.
#二項演算 は，語を連結して縮約すること.

＜#代数学の参考書＞

パリティ物理学コース
物理数学特論「群と物理」
https://www.amazon.co.jp/dp/46...
・出版社: 丸善
・著者: 佐藤 光
・出版年: 1992年

『#群 の中でも
#物理 によく出てくる
「#リー群」を中心に，
#概念 をつかんで
#使える ようになることを
#目標 としている。』

＜#代数学の参考書＞

SGCライブラリ
「物理のためのリー群とリー代数」(2008)

前書きより:
『#量子力学 や #素粒子論 への
#応用 を念頭におくならば
SU(2)やSU(3)といった #群 の
#個別 の解説を避ける事はできない.
一方で将来の学習に備えるには
#リー群 や #リー代数 の #一般論 も…』

#代数学を独学できるYouTube動画

ヨビノリによる
「#代数学」シリーズ
2 / 10

【#大学数学】#群論 入門②
#群 の定義と例
https://www.youtube.com/watch?...
38:53

#代数 #抽象代数学 #数学