#巡回群とは 14

Q.
(1) #群 G の位数
(2) #巡回群 G の #生成元 a の位数
↑
どちらも #位数 と呼ぶので
紛らわしくないか？

A.
確かに同じ用語であるが，
群 G が巡回群である場合
(1)の「群の位数」と
(2)の「元の位数」で
値が一致するため，紛らわしくはない.

＜#代数学の参考書＞

「復刊　有限群論」(1970伊藤)

書評より:
『2章では
#Frobenius部分群 に関する
#Burnsideの結果
(基本定理Ⅱ)からはじまって，
Frobenius部分群の
p-シロー群は
#巡回群 か #四元数群 になること，
これと関連して
#シロー群 が
すべて巡回群となる
#群 の構造…』

＜#代数学の参考書＞

「ガロアの夢　群論と微分方程式」
(日本評論社1968久賀)

『主題は
#微分方程式 の #ガロア理論 だが
#群，#トポロジー，#関数論 の
交錯する地点に立ち
これらの相互作用により
織り出されていく
数学の面白さ，
楽しさをこそ語る本書は
著者ならではのユニークな書』

#巡回群とは 13

Q.
#巡回群 G＝‹a›において
nはa^n=eをみたす最小の自然数とする.
#群 Gの #位数 がnである事を示せ.

A.
n個の元 a^i (0≦i＜n)の集合をSとおく.
前ツイの議論より
Sの元は全て異なる.

m≧nの時
m=qn＋r (0≦r＜n)とおくと
a^m
=a^{qn+r}
=((a^n)^q)・(a^r)
=a^r ∈ S

#巡回群とは 11

Q.
前ツイの「r-s=0」がよくわからない

A.
a^0＝eより
a^m＝eを満たす整数mにはm=0がある.
しかし0という値は
#群 の #位数 や元の位数としての情報を持っていない.
だから位数nは0を除外しn＞0の範囲で探す.
そしてn＞m≧0なる範囲でのa^m＝eの解は
m＝0のみというわけ.

#巡回群とは 9

①「#群 G の 位数 |G| 」
②「#巡回群 ‹a› の #生成元 a の位数」
という
2種類の「#位数」の定義を学んだ.

①と②の間に
関連はあるのだろうか？

実は，巡回群が #有限群 の場合
②の値が n ならば
①の値も n である.

次ツイからその事を証明してゆこう.

#巡回群とは 8

Q.
#単位群(自明な群)は #巡回群 であり，
その #生成元 の #位数 が
1である事を示せ.

A.
単位群(自明群，trivial group)は
ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}.

全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群.

e^n＝eとなる最小の自然数は
n＝1なので，
eの位数は1.

#群論の知識

#群 の #表示 (presentation of group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

群を
①#生成元 と
②生成元の間に成り立つ関係
によって特定すること.

一般に群は必ず表示を持つが
一意的ではない.

①の生成元のみがあり
②の関係が定義されない場合は，
#自由群 という.

#巡回群とは 6

Q.
#巡回群 は
#アーベル群 である事を示せ.

A.
#群 Gが
aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば
Gの任意の2元x,yは
x＝a^m
y＝a^n
という #べき の形である.(m,n∈ℤ)
xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n}
yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy
なので，#交換法則 が成り立つ.

#巡回群とは 5

Q.
#巡回群 G の
#生成元 a を考えるメリットは？

A.
G ＝ ‹ a ›
のように表記すれば，
#群 Gの全ての要素をいちいち列挙しなくて済み
面倒が省ける.

群がもつ全要素の情報を
aというただ1つの元だけで表せる.

群の本質的な情報を
簡潔に手短に言い表せる，ということ.

#巡回群とは 4

#巡回群(cyclic group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ただ1つの元で生成される #群.
#生成 とは，群のどの元も
#生成元 の整数 #べき で書けるという事.

・単項生成群(monogenous group)とも.

・生成元(generator) のことを
原始元(primitive) とも呼ぶ.

#巡回群とは 3

Q.
#巡回群 とは.

A.
#群 G の
ある1つの元を a として，
G のすべての元が
a の #べき である( a^n に等しい)とき，
G ＝ ‹ a ›
と書き
G は「a を #生成元 とする巡回群」であるという.

#巡回群とは 2

Q.
#群 のある1つの元 a の #べき とは

A.
a の n 個の積を
a^n ＝ aaa…a ※n個
と書く.

a^{-1} の n 個の積を
a^{-n} ＝ (a^{-1}) (a^{-1}) (a^{-1}) … (a^{-1}) ※n個
と書く.

a^0 ＝ e (#単位元)と定義.

任意の整数 n に対して定義される a^n を
元 a のべきと呼ぶ.

#巡回群とは 1
↑
このタグでは
#群論の初歩 の内容を前提に
下記を学びますぞ！

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#群論の知識

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#シローの定理 その3:

#群 G, 素数p, 自然数nに対し
|G|＝(p^n)･m
p∤m (割り切らない)
|Syl_p(G)| ＝ L
P ∈ Syl_p(G)
N_G(P)はGにおけるPの #正規化群
の時，
L | m (割り切る)
L ≡ 1modp
L ＝ |G : N_G(P)| ( : は #指数)
が成り立つ.

#代数系の初歩 27

Q.
マグマから群まで
1つずつ条件を増やせ

A.
結合法則を最初に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#半群: 閉 結
#モノイド: 閉 結 単
　　　#群: 閉 結 単 逆

結合法則を最後に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#準群: 閉 　 　 除
　　#擬群: 閉 　 単 逆
　　　#群: 閉 結 単 逆

#代数系の初歩 24

Q.
#準群 と
#群 を比較せよ.

A.
共通した性質:
・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ)

群の場合:
・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす.

準群の場合:
・単位元や結合法則は要請されない.
・逆元のかわりに「除法」が定義される.

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数 原著第2版」(ジョージァイ2010)

p1「なぜ群論か」より:
『読者にこの本から
得てほしいと期待する事は，
特に #量子力学 の学習時
#労力 を軽減する道具として
#群の表現 を使うために十分なだけの
#群 と #リー代数 と
その #表現 の理論.』

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群