#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 65

Q.

①#群論 で
#群 を生成するための
#生成元 や #生成系.

②#線形代数 で
#ベクトル空間 の #基底.

↑
似てる?

A.
①群の任意の元は
生成元の #べき または
生成系の #べき積 で
表せる.

②ベクトル空間の
任意の元(#ベクトル)は
基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

#巡回群とは 60

Q.
#群 Gの部分集合
M＝{ a_1, …, a_m }
の #べき積 の全体がなす集合は
Gの #部分群 である事を示せ.

A.
Mのべき積の全体という集合が
群をなす事は証明済み.
ここでMはGの部分集合だから
MはGの部分群となり
M≤G が言える.

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 58

Q.
#べき積 どうしの積は
べき積になるだろうか.

#群 Gの部分集合
M={a,b}を #生成系 とし
べき積z=(a^2)bに対し
zとzの積は?

A.
Gが一般的な群の場合
z^2＝{(a^2)b}^2＝(a^2)b(a^2)b
これは「Mから重複を許して
元の #べき 同士をかけ合わせた形」なので
べき積である.

#巡回群とは 57

Q.
「#べき積 を作る際
#群 の部分集合Mから元を取り出す操作において
重複があってもよい」
↑
どういう事か

A.
例えばM={a, b}を #生成系 とする場合
(a^2)(b^3) とか
a b^{-2} のような形だけでなく
(b^2)(a^{-1})(b^3)a^2 みたいに
M内の同じ元を繰り返し使ってよい.

#巡回群とは 56

#群 の部分集合によって #生成 される #部分群 について
https://mathlandscape.com/grou...

呼び名が長い.
群の #部分集合が生成する部分群
群の #部分集合が生成系となる部分群

#べき積 を作る際，
部分集合から元を取り出す操作において
重複があってもよい
というのがポイント.

#巡回群とは 54

#群 Gの部分集合Mから #生成 される
Gの #部分群
(すなわち
Gの複数元の #べき積 を要素に持つ
Gの部分群)
を ‹M› と書き
①「Mが生成するGの部分群」
②「Mが #生成系 となるGの部分群」
と呼ぶ.
↑
①や②を
1つの用語で言い表す方法がない.
(巡回群みたいな名前が無い)

#巡回群とは 51

Q.
#群論 において #生成系 とは.

A.
#群 G のある部分集合
M ＝ { a_1, a_2, …, a_m }
がある時，
M の元の #べき積 の形で書ける全ての元からなる
G の #部分群 を
H ＝ ‹M› と書き，
「H の生成系は M である」という.

#巡回群とは 50

Q.
#群 Gの部分集合
M＝{ a_1, a_2, …, a_m }
がある時，
Mの元の #べき積 とは

A.
z＝(a_{x_1})^{n_1}･(a_{x_2})^{n_2}･…･(a_{x_r})^{n_r}
x_1, x_2, …, x_r ∈ { 1, 2, …, r } (※重複可)
n_1, n_2, …, n_r ∈ℤ(※0や負の指数も可)
の形で書けるGの元 z のこと.

#巡回群とは 49

Q.
ここまでで
#群 Gの「1つの元」aから #生成 される
#巡回群 ‹a› を考えてきた.

では
群Gの「複数の元」から生成されるのは?

A.
群Gの部分集合
M＝{ a_1, a_2, …, a_m }
に対し，
これらの要素の #べき を
組み合わせた積(#べき積)の全体がなす群を考える.

#巡回群とは 1
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このタグでは
#群論の初歩 の内容を前提に
下記を学びますぞ！

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積